上述公式表明，近似式阶数越高，近似程度越好.
近似程度是多少？
Theorem 若f ( x)在x 0点有直到 n 1阶连续导数，则
f (0) 2 f ( n ) (0) n f ( x) f (0) f (0) x x x Rn ( x), 2! n!
f ( n1) ( ) n1 Rn ( x) x , （其中 在0与x之间） . (n 1)!
一阶近似 . P 1 (0) f (0), P 1 ' (0) f (0).
为提高近似精度，可用二次多项式
f ( x) P2 ( x) a0 a1x a2 x2 , （二阶近似）
且
P 2 (0) f (0), P 2 (0) f (0), P 2 (0) f (0).
例7.
f ( x) (1 x) , ( R), x 0.
f ( n) ( x) ( 1)( n 1)(1 x) n ,

f
( n)
(0) ( 1)( n 1),

(1 x) 1 x

( 1)
2!
n!
则 (t )在[0, x]或[ x,0]上连续且
(0) Rn ( x)， ( x) 0, (t )
再作辅助函数
f
( n 1)
(t )
n!
( x t )n .
n 1
(t ) ( x t ) ,
利用Cauchy定理，得
f ( n1) ( ) n1 Rn ( x) x ，在0与x之 间 . (n 1)!
这就是利用导数作近似计算的公式. 它表明，当
x与x0充分接近时，可以用切 线 y f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 )
近似地代替曲线 y f ( x). 即曲线 y f ( x)在x的纵坐标
f ( x)近似等于其在 ( x0 , f ( x0 ))的切线在 x的纵坐标
Peano 余项
Rn ( x) o((x x0 )n ).
例5 中, e x的Taylor 公式
x x e （在0与x之间） e 1 x x n1 , 2! n! (n 1)!
x
2
n

1 1 e , (0 1). x 1, e 1 1 2! n! (n 1)!
从而得 f ( x)在x 0的n阶近似式
f (0) 2 f ( n ) (0) n f ( x) f (0) f (0) x x x . 2! n!
例5. f ( x) e , f
x
( n)
( x) e , f
x
( n)
(0) 1.
Байду номын сангаас
2 n x x ex 1 x . 2! n! 1 1 令 x 1, e 1 1 , 可求e的近似值. 2! n!
称为f ( x)在x 0点关于 x的幂函数展开式，又称 为
Taylor公式（也称马克劳林 ( Maclaurin ) 公式）， 式中 Rn ( x) 叫做 Lagrange 余项.
证明：作辅助函数
f (t ) (t ) f ( x) f (t ) f (t )( x t ) ( x t )2 2! f ( n ) (t ) ( x t )n . n!
D1
s

1 tan tan 0 ，即 tan . 2 cos 0
D1 D2 于是 tan 2s
（弧度） , 1弧度 57.3.
从而 57.3
D1 D2 D1 D2 （角度） . 28.6 2s s
例2. 开方的近似计算.
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x), n!
Lagrange 余项
f ( n1) ( ) Rn ( x) ( x x0 ) n1 , （在x0 , x之 间 ） . (n 1)!
或
f ( n1) ( x0 ( x x0 )) Rn ( x) ( x x0 ) n1 , （ 0 1 ） . (n 1)!
和相对误差
y
| f ( x)x | 100%. y | f ( x) |
例4. 多次测量一根圆钢, 测得其直径的平均值为D＝50毫米， 绝对误差不超过0.05毫米. 试计算其截面积, 并估计其误 差. 解： 圆面积 S D 2 , 截面积为 4 S (50) 2 1962 .5 毫米 2 , 4 S的绝对误差： S | D D | 50 0.05 3.925 毫米 2 , 2 2 相对误差： D D S 1 2 0.2% 2 S 500 D 4
注：由余项可见，不论缩小x或增大阶数n都可提高精度.
一般地， f ( x)在x x0点关于 x x0的幂函数展开
式，即 f ( x)在x0点的Taylor 公式：
f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2!
二、Taylor 公式 近似 简单函数 多项式
表示
复杂的函数
考虑 y f ( x)，当| x | 充分小时，有
f ( x) f (0) f (0) x o( x),
从而
f ( x) f (0) f (0) x.
即一次多项式 P 1 ( x) f (0) f (0) x 是f ( x)在x 0点的
x
2
( 1) ( n 1)
x n o( x n ).
特别， n, 有
n
二项式展开公式
n(n 1) 2 （ 1 x) 1 nx x nx n 1 x n . 2!
设y f ( x) 1 x，若 | x | 很小，则 1 x 1 1 x
2
常用近似公式（ | x | 充分小）：
sin x x,
tan x x,
n
x 1 x 1 , n
e x 1 x.
ln(1 x) x.
1 1 x, 1 x
例3. 计算 sin 29 , 3 131 的近似值. 解： sin 29 sin(30 1 )
2 n 1 x3 x5 x sin x x (1) n 3! 5! (2n 1)!
x 2 n 3 3 sin(x (n ) ),（0 1 ） . (2n 3)! 2
f ( x) cos x, x 0.
f ( k ) ( x) cos( x k

2
),
n ( 1 ) , k 2 n, (k ) f ( 0) 0, k 2n 1,
2n x2 x4 x n cos x 1 (1) 2! 4! (2n)!
(1)n1 x 2 n 2 cos( x (n 1) ),（0 1). (2n 2)!
上例中，尽管他们的绝对误差相等，但明显地，轴长 （120毫米）的精度要比键销（12毫米）的精度高。可见， 一个量的近似精度依赖于其绝对误差和这个量本身的大小， 故需计算绝对误差占总长度的百分比. 例如： 轴： 键销：
0.03 100 % 0.025 %, 120 .03
0.03 100 % 0.25 %, 12 .03
Lagrange 余项还可写为：
f ( n1) (x) n1 Rn ( x) x ，（ 0 1 ） . (n 1)! Rn ( x) ( n 1) 又 f ( ) x 0，（x 0 ） . n x 因此余项又可表示为 Rn ( x) o( x n ).
称为皮亚诺(Peano)余项.
180 sin (cos ) ( ) 6 6 180 sin(
x 29，x0 30， x x0 1

180

6


.
)

3
1 3 0.4849 . 2 2 180
3
查表得 0.4848
131
5 6
3
3
5(1
f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 ).
当x0 0且 | x | 充分小时，有 f ( x) f (0) f (0) x.
例1. 如图，加工圆锥台时计算刀架应取角 .
D1 D2 D D2 2 解：tan 1 . s 2s
因 一般相当小，故
D2
y
yx
又 y f ( x0 x) f ( x0 ),
o x0
x0 x
x
故 f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x, （| x | 充分小） .
设x x0 x，x x x0，则有
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 ),（| x x0 | 充分小） .
称这样的百分比为相对误差. 显然，轴长精度比键销 长的精度高得多. 一般地，有定义：
A的近似值是 a，则 | A a | Def : 若一个量
叫做绝对误差，而

a
100 % 叫做相对误差.
对于函数 y f ( x)，若由 x计算y时，x有误差 x，则
由此算出的 y值有绝对误差
| y || f ( x x) f ( x) | | f ( x)x |,（当| x | 很小时）
并令x 0 ，得
P n (0) a0 f (0), P n (0) a1 f (0),
( n) ( n) P ( 0 ) 2 ! a f ( 0 ), , P ( 0 ) n ! a f (0). n 2 n n