A×B=A和B同时发生。 概率的乘法法则：有限个独立事件乘积的概率等于这 些事件概率的乘积。 例：两个学生从5个试题中任意抽取一题，第一个学生 把抽出的题还回去后，第二个学生再抽，则两个学生 都抽到试题2的概率为1/25。
例：根据统计结果，男婴出生的概率是22/43，女 婴出生的概率是21/43，某单位有两名孕妇，问两名孕 妇都生男婴的概率是多少？都生女婴的概率是多少？ 其中一男一女的概率是多少？
• 例：某班有20名男生，25名女生，现随机从全班同 学中抽取一名同学，抽到男生的概率为20/45=4/9， 抽到女生的概率为25/45=5/9。
二、概率的性质
1. 对于任何事件Ａ，均有0≤Ｐ（Ａ）≤1 2. 不可能事件的概率为零，P（V）=0 3. 必然事件的概率为1，P（U）=1
三、概率的加法和乘法
正面的数量 0 1 2
总计
频数（f） 253 499 248 1000
百分比（%） 25.3 49.9 24.8 100.0
• 概率分布实质上是无限次抛掷的频数分布。尽管 我们永远不能观察到这个无限次抛掷的频数分布， 但我们知道这是的频数分布会无限接近概率分布。
四、概率分布
概率分布：对随机变量取值的概率分布情况用数学 方法进行描述。
例：为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响， 某大学统计出学生中只有父亲具有大学文化程度的占 30％，只有母亲具有大学文化程度的占20％，而双方 都具有大学文化程度的占有10％，问从学生中任抽一 名，父代至少有一名具有大学文化程度的概率是多少？
2. 概率的乘法
独立事件：出现概率相互不影响的事件。 事件之积：有限个互相独立事件同时发生。如：
例如掷两颗骰子的试验，点数就是随机现象，它 一共有11种宏观结果。我们用古典法对每种宏观结果 计算P，便得到了如下表所示的概率分布。
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计 P(X)
频率分布与概率分布的区别
经验分布：
频率分布是经资料整理而来;频 率分布随样本不同而不同;频率 分布有对应的频数分布。
的基础，并将概率理论应用于自然和社会的研究。此后， 法国的泊松(1781—1840)提出了泊松分布，德国的高斯 (1777—1855)提出了最小平方法。
一、频率和概率的定义
1. 频率 对随机现象进行观测时，若事件Ａ在ｎ次观测中出 现了ｍ次,则ｍ与ｎ的比值，就是事件Ａ出现的频 率（也称为相对频数）。用 Ｗ（Ａ）表示事件Ａ 的频率。 公式为：Ｗ（Ａ）=ｍ/ｎ
四、概率分布
• 随机事件及其概率回答的是随机现象某一局部结 果，例如对给定的复合事件求先验概率。而概率 分布则要在满足完备性(穷举)和互不相容性(互斥) 的前提下，回答随机现象一共会出现多少种结果， 以及每种结果所伴随的概率是多少。
• 应该指出，在统计中，概率分布是就随机现象呈 现的宏观结果而言的。它可以在宏观层次加以识 别而与特定排列次序无关。
理论分布： 概率分布是先验的；概 率分布是唯一的；概率 分布无频率分布所对应 的频数分布。
• 概率分布是理论性的或理念性的，它描绘了在一个完美的世 界中百分比应该是多少。不幸的是，根据现实的（实际得到 的）数据得到的百分比和理论上的总是不完全一致。
• 假设把两枚硬币投1000次，得到的结果为下表：
2. 概率
• 概率是对随机事件出现可能性大小的客观量度。
事件Ａ发生的概率记为P（Ａ）。
• 在相同的条件下，某个事件A发生的概率是一个常 数。
• 根据概率的计算方法，概率可分为后验概率和先 验概率。
⑴ 后验概率（统计概率）
• 以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率作 为随机事件A概率的估计值。
第五章 概率及概率分布
• 掌握概率的概念、性质和法则 • 明确概率分布的含义，了解二项试验和分布的基础知识。
第一节 概率的一般概念
概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人寿保 险等工作中，要整理和研究大量的随机数据资料， 这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性的数 学。
参赌者就想：如果同时掷两颗骰子 ，则点数之和 为9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能性较大？
1. 概率的加法
互不相容事件：在一次试验中不可能同时出现的事 件。
事件之和：有限个互不相容事件中任意一个发生。 如：A+B=A或B发生。
概率的加法法则：有限个互不相容事件之和的概率 等于这些事件概率的和。
例：某学生从5个试题中任意抽取一题，则抽到试题 2或试题3的概率为2/5。
例：根据上海市职业代际流动的统计，向下流动的 概率是0.07，静止不动的概率是0.6，求向上流动的概 率是多少？
• 事件A的频率不是常数,它随试验次数的变化而变 化，但是随着试验次数的无限增大，事件A的频率 会逐渐趋近于一个常数P，P就是随机事件A出现概 率的近似值。
⑵ 先验概率（古典概率）
• 如果某个随机现象所有可能结果是有限的，其总数 为n，每一种可能结果出现的可能性相等，这个现 象中的随机事件A包括m个可能结果，则事件A的概 率为ｍ与ｎ的比值，即 P（A）=ｍ/ｎ。
根据随机变量取值情况可分为：离散变量概率分布 连续变量概率分布
离散变量概率分布
离散型随机变量的取值是可数的，如果对X的每个可 能取值xi计算其实现的概率Pi ，我们便得到了离散型 随机变量的概率分布，即
离散变量概率分布
离散型随机变量的概 率分布也可以用表格 和图形两种形式来表 示。由于离散型随机 变量的特点，表示离 散型随机变量概率分 布多为折线图。
例如17世纪中叶，贵族德·梅尔发现：将一枚骰 子连掷四次，只出现一个6 点的机会比较多，而同 时将两枚掷24次，只出现一次双6 的机会却很少。
概率论的创始人是法国的帕斯卡(1623—1662)和费尔马 (1601—1665)，他们在以通信的方式讨论赌博的机率问题 时，发表了《骰子赌博理论》一书。棣莫弗(1667—1754) 发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利(1654一1705) 提出了二项分布理论。1814年，法国的拉普拉斯(1749— 1827)发表了《概率分析论》，该书奠定了古典概率理论