绝对值化简问题的归类分析
绝对值化简是初中数学中的难点之一，本文将此类问题大致归纳为以下十种情况，进行举例分析.
一、已知不等式的解集，化简绝对值
例1 已知:1x <-，化简:3113x x +--.
分析 要去掉题中绝对值，明确31x +,13x -的符号是关键.这里根据条件，运用不等式的性质就可以得出求出31x +,13x -的符号.根据不等式的性质2，由1x <-，得33x <-.又根据不等式的性质1，得312x +<-，这就确定了31x +的符号为负号.
同理，根据不等式的性质3，由1x <-，得33x ->.又根据不等式的性质1，得134x -
> ，所以得出13x -的符号为正号，这样就可以轻松化简.
解 1x <-，
3120,134x x ∴+<-<->>,
∴原式=(31)(13)31132x x x x -+--=---+=-.
二、求出不等式的解集后，再化简绝对值
例2 已知2(1)3x x -<-，化简:242x x +---.
分析 要去掉绝对值，就得知道2x +, 42x --的符号.要知道2x +, 42x --的符号就得知道x 的解集，要知道:的解集就要运用不等式的解法求出其解.求出x 的解集后，由例1的方法就可以确定2x +, 42x --的符号，进而化简绝对值.
解 由2(1)3x x -<-,
解得2x <-
20x ∴+<，420x -->
∴原式(2)(42)2x x x =-+---=+
三、已知不等式的解集，化简多重绝对值
例3 已知3x <-，化简:321x +-+
分析 要去掉绝对值符号，我们只能从最里面一层一层的去掉.先根据不等式的性质，用例1的方法判断1x +的符号，去掉第一个绝对值，然后再合并同类项后判断符号，去掉
第二个绝对值，最后去掉第三个绝对值.解答本题的关键是确定去绝对值符号的顺序.
解
3x <-
120x ∴+<-<
∴原式32(1)33x x =+---=++
3x <-
30x ∴+<
∴原式3(3)x x =+--=-
3x <-
30x ∴->>
∴原式x =-
四、已知不等式组的解集，化简绝对值
例4 23x -<<，化简:23x x +--
分析 要去掉绝对符号，只要知道2x +，3x -的符号即可.但是与上面的例题的情况 不一样，这是不等式组的解集，该如何用呢?实际上只要我们按照不等式的性质代进去一试结论就有了.根据不等式的性质1，由23x -<<，得021x <+<.同样可以确定2x +的符号为正号.又根据不等式的性质，由23x -<<，得530x -<+<，可以确定3x -的符号为负号.这样去绝对值符号就迎刃而解.
解
23x -<<
∴021x <+<，530x -<+<
∴原式2(3)21x x x =+--=-
五、解答不等式组，再化简绝对值
例5已知不等式组41521
22
x x x ⎧-<⎪⎪⎨-⎪<-+⎪⎩ 化简451x x +--
分析 要去掉绝对值同样得知道45x +，1x -的符号.运用解不等式组的方法求得x 的 解集是关键，最后运用例4的方法确定45x +，1x -的符号，就可以化简绝对值.
解 解不等式①，得54
x >-
. 解不等式②，得1x <
514
x ∴-<< 0459x ∴<+<，9104x -
<-< ∴原式45(1)54x x x =+--=+
六、已知不等式组的解集，变形二次根式后再化简绝对值
例6已知01x <<，化简
:2x +
分析
本题涉及到了二次根式的性质a =
a =的运用.解答时先将二 次根式变形，进行第一次化简，再根据不等式的性质确定绝对值内的式子的符号，最后就可以化简绝对值.
解 原式(1)1(2)x x x x =+-----
01x <<
110x ∴-<-<，221x -<-<-
∴原式1(1)(2)22x x x x x =+-----=-
七、解不等式组。
再变形二次根式化简绝对值
例7已知53220m m +>⎧⎨-<⎩
化简1m -分析 本题涉及了一元一次不等式组的解法，二次根式的性质a =的运用.解答
时，先求出m 的解集，再将二次根式转化为绝对值，由不等式的性质确定绝对值内的代数式的符号，就可以由绝对值的性质化简.
解 原式121m m m =-++--
由不等式①，得2m >-.
解不等式②，得1m <
21m ∴-<<
310m ∴-<-<，023m <+<，013m <-<
∴原式(1)211(2)(1)2m m m m m m m =--++--=-+++--=+
八、由方程组的解建立不等式组，求出解集，再化简绝对值
例8已知关于x 、y 的方程组3612
x y a x y a -=+⎧⎨+=--⎩
的解满足0y x <≤，试化简： 31a a -++
分析 要去掉绝对值，得知道a 的解集.必须先求出二元一次方程组的解，由二元一次方程组的解建立不等式组，求出a 的解集，最后根据不等式的性质结合零点分段法分类讨论，确定3a -，的1a +符号，就可以化简绝对值.
解 由①+②，得226x y =-
3x y ∴=-
把③代人②，得29y a =--
329
x a y a =-⎧∴⎨=--⎩ 0y x <≤
29330
a a a --<-⎧∴⎨-≤⎩ 解得23a -<≤
530a ∴-<-≤
当13a -≤≤时，014a ≤+≤
∴原式314a a =-++=
当21a -<<-时， 110a -<+<
∴原式3(1)22a a a =-+--=-+
九、由二次根式性质求不等式的解集，根据二次根式的性质变形为绝对值，再化简 例9已知x 、y 为实数，且3y ，化简:3y --分析 要解答此题，最终还是要化简绝对值.先根据二次根式的性质求出y 的解集;再将a =将二次根式转化为绝对值;最后由不等式的性质确定绝对值里面的式子的符号即可.
解 由题意，得
10110
x x x -≥⎧∴=⎨-≤⎩
3y <
3y ∴<
30y ∴-<，41y -<-
∴原式(3)343(4)y y y y y =---+--=-+--
341y y =-+-+=-
十、由二次根式的性质建立不等式组求出解集，再变形为绝对值化简
例10 化简:223x ---.
分析 要化简此题，需要运用二次根式的性质a =a =变形，再运用隐含条件10x -≥，20x +≥建立不等式组求出x 的解集，并运用完全平方公式将二次根式变形后转化为绝对值.最后由不等式的性质判断绝对值里面的式子的符号，就可以去掉绝对值符号，进而达到化简目的.
解 由题意，得 1020x x -≥⎧⎨+≥⎩
解得21x -≤≤
235x ∴≤-≤，6220x -≤-≤
∴原式1(2)(3)12223x x x x x x x =--+-=-----+-
32(22)3222x x x x x =-+--=-+-+=-
综上，绝对值的化简问题一般与不等式或不等式组、二次根式等综合在一起，以增加化简的难度.但是无论怎样情形，万变不离其宗，只要大家熟练掌握不等式的性质、二次根式的性质和绝对值的性质，灵活运用这些性质进行变形、化简，确定绝对值内的代数式的符号，那么绝对值化简的问题也不难.。