第1-4章复习题1、虚指数序列 x [k ]= e jωk 不一定为周期序列；而连续虚指数信号x (t )= e jωt 必是周期信号。

2、线性卷积[][][]n y k x n h k n ∞=-∞=-∑例题： x[k]非零范围为N 1≤ k ≤ N 2，h[k]的非零范围为N 3≤ k ≤ N 4，求：y[k]=x[k]* h[k]的非零范围。

解答：N 1+N 3≤ k ≤ N 2+N 4解析：两个序列卷积时，卷积所得序列的起点等于两个序列起点之和，终点等于两个序列的终点之和，序列长度等于两个序列的长度之和减1。

3、互相关[][][]xyk r n x k y k n ∞=-∞=+∑，自相关[][][]xk r n x k x k n ∞=-∞=+∑r xy [n ]=x [-n ] * y [n ] r x [n ]= x [-n ] * x [n ] 4、离散LTI 系统因果性：h[k]=0，k<0 离散LTI 系统稳定性：[]k h k S ∞=-∞=<∞∑5、DTFT ：()[]j j kk X e x k e∞Ω-Ω=-∞=∑IDTFT ：2π1[]()d 2πj j k x k X e e ΩΩ<>=Ω⎰6、已知x [k ]为一有限长序列且[]{2,1,1,0,3,2,0,3,4}x k ↓=---，不计算x [k ]的DTFT X (e jω)，试直接确定下列表达式的值。

（1）602()[]0j k X e x k =-==∑（2）6π2()(1)[]0j k k X e x k =-=-=∑ （3）ππ()d 2π[0]2πj X e x Ω-Ω==-⎰（4）6π22π2()d 2π[]88πj k X e x k Ω-=-Ω==∑⎰（5）26π22π2d ()d 2π[]1780πd j k Xe k x k Ω-=-Ω==Ω∑⎰7、单频信号通过LTI 系统的响应 LTI()j k j k j e e H e ΩΩΩ−−→8、系统稳态响应sr []()j jk y k H e e ΩΩ=例题：设系统的初始状态为零，试确定输入信号为x [k ]=cos(πk )u [k ]，[][]2[2][4]h k k k k δδδ=+-+-时，系统的稳态响应。

解答：系统的频率响应2422()124cos j j j j H e e e e Ω-Ω-Ω-Ω=++=Ω 由已知πΩ=，所以22()4cos 4j j H e e πππ-== 根据系统稳态响应定义sr []()j jk y k H e e ΩΩ= 所以，sr []()4cos()j jk y k H e e k πππ==9、LTI 系统稳定的充要条件：[]k h k ∞=-∞<∞⇔∑H (z )的收敛域ROC 包含单位圆。

因果系统H (z )的极点位于z 平面单位圆内时，系统稳定。

例题：已知一离散LTI 系统的系统函数为111()(12)(13)H z z z --=--判断系统的稳定性和因果性。

● |z |>3系统不稳定、因果，11[](23)[]k k h k u k ++=-+● 2<|z |<3系统不稳定、非因果，11[]2[]3[1]k k h k u k u k ++=---- ● |z |<2系统稳定、非因果，11[]2[1]3[1]k k h k u k u k ++=----- 10、简单数字滤波器一阶FIR 低通数字滤波器1LP1()0.5(1)H z z -=+LP11()0.5j j z e z H e z ΩΩ=+=，0LP1()1j H e =，πLP1()0j H e =。

一阶FIR 高通数字滤波器1HP11()(1)2H z z -=-HP11()0.5j j z e z H e z ΩΩ=-=，0HP1()0j H e =，πHP1()1j H e =。

11、一阶复系数全通滤波器111()1z d A z dz -*--=-最小相位系统H min (z )：零极点都在z 平面单位圆内的因果系统称为最小相位系统。

等价于零点都在z 平面单位圆内的稳定因果系统称为最小相位系统。

12、任一实系数因果稳定系统的H (z )都可表示为min ()()()m H z H z A z =例题：一实系数因果稳定系统的系统函数H (z )为11(),1,11b z H z a b az --+=<<+ 解答：由于系统的零点为z = -1/b ，故不是一最小相位系统。

11111()11b z bzH z az bz ----++=++1111111bz z baz bz ----++=++与H (z )具有相同幅度响应的最小相位系统为1min 11()1bz H z az--+=+ 13、利用数字系统处理模拟信号，A/D ，D/A 转换，考察各步输出的频谱。

A/Dh [k ]A/DT Tx (t )x [k ]y [k ]y (t )14、DFT ：2π1[][],0,1,2,,1N j mk Nm X m x k em N --==⋅=-∑LIDFT ：2π11[][],0,1,2,,1N j mk N m x k X m e k N N -==⋅=-∑L15、引入DFT 的意义？16、利用DFT 分析连续非周期信号的频谱17、2π[]DFT{[] }(),0,1,2,,1j m NX m x k X e m N ΩΩ====-L有限长序列x [k ]离散傅里叶变换X [m ]是其离散时间傅里叶变换X (e jω)在一个周期[0,2p]的等间隔抽样。

18、2π10[][][][]N j mk NN k X m x k eX m R m --==⋅=⋅∑%DFT 可以看成是截取DFS 的主值区间构成的变换对。

19、DFT 性质线性特性{}{}{}1212DFT [][]DFT []DFT []ax k bx k a x k b x k +=+ 循环位移[][()][]N N y k x k n R k =+时域循环位移对应频域相移 {}DFT [()][][]mnN N Nx k n R k X m W -+=时域相移对应频域循环位移 {}DFT [][()][]lkN N N W x k X m l R m =+ 周期共轭对称[]*[()][]*[]N N x k x k R k x N k =-=-时域共轭对应DFT 频域周期共轭 DFT{[]}[()][][]N N x k X m R m X N m ***=-=- 时域周期共轭对应DFT 频域共轭 DFT{[()][]}[]N N x k R k X m **-=例题：已知一9点实序列的DFT 在偶数点的值为X [0]=3.1,X [2]=2.5+4.6j, X [4]=-1.7+5.2j, X [6]=9.3+6.3j,X [8]=5.5-8.0j 。

确定DFT 在奇数点的值。

解答：根据实序列DFT 的对称特性X [m ]=X *[N -m ]可得，X [1]=X *[9-1]= X *[8]= 5.5+8.0j; X [3]=X *[9-3]= X *[6]= 9.3-6.3j ； X [5]=X *[9-5]= X *[4]= -1.7-5.2j; X [7]=X *[9-7]= X *[2]= 2.5-4.6j 。

20、计算有限长序列线性卷积、循环卷积的方法 21、利用DFT 计算序列线性卷积的步骤解答：若x 1[k ]的长度为N ， x 2[k ]的长度为M ，则L =N +M -1点循环卷积等于x 1[k ] 与x 2[k ]的线性卷积。

]1212[][][][]L L x k x k x k x k ⊗=*22、利用DFT 对连续非周期信号的频谱进行分析的意义？在近似分析过程中一般会出现哪些现象（混叠、频率泄漏、栅栏）？如何解决？ 23、解决频谱混叠主要有两种方法：(1)带限信号，减小抽样间隔，使之满足时域抽样定理； (2)非带限信号，用抗混叠滤波器限制信号频带。

24、重排序mm当021m N ≤≤-，[]X m 对应()X j ω的频率点(),0,1,,12samsam f Nm f m m NN ωω===-L 或的抽样点。

当21N m N ≤≤-，[]X m 对应()X j ω的频率点()(-)),,1,122samsam f N Nm N fm N m N NN ωω=-==+-L 或（的抽样点。

例题：已知语音信号x (t )的最高频率为f m =3.4kHz, 用f sam =8kHz 对x (t )进行抽样。

如对抽样信号做N =1600点的DFT ，试确定X [m ]中m =600和m =1200点所分别对应原连续信号的连续频谱点f 1和f 2 (kHz)。

解答：X [m ] 与X (j ω)存在以下对应关系： 当m =600时，由于0≤m ≤(N /2-1)，所以sam 18600kHz 3kHz 1600f f m N ==⨯= 当m =1200时，由于N /2≤m ≤N-1，所以sam 28()(12001600)kHz 2kHz 1600f f m N N =-=⨯-=- 25、如果连续信号x (t )在时域无限长，则离散化后的序列x [k ]也为无限长，无法适用DFT 分析，这时需要对x [k ]进行加窗函数截短使之成为有限长序列。

常见的窗函数主要有矩形窗、汉宁窗、哈明窗、布莱克曼窗等。

26、加窗处理对信号频谱分析主要有两个方面的影响：（1）频谱中出现多余的高频分量，这是由于窗函数忽然截断引起的，这个现象也叫频率泄漏（对于同一窗函数，增加长度N 虽然年可以减少主瓣宽度，但不能改善旁瓣泄漏）；（2）谱线变成了具有一定宽度的谱峰，降低了频率的分辨率。

频率分辨率是表示分辨信号频谱中相邻谱峰的能力。

27、已知一连续信号为12()cos(2π)0.15cos(2π)x t f t f t =+，1100Hz f =，2150Hz f =。

若以抽样频率sam 600f Hz =对该信号进行抽样，试求由DFT 分析其频谱。

如何选择窗函数？（矩形窗/哈明窗）-300-200-10001002003001020幅度谱频率(Hz)-300-200-100010*******1020频率(Hz)幅度谱28、2π[](), 0,1,,1j ΩN N Ωm NX m X e m N ===-L ，[]N X m 实际上是()j ΩN X e 在一个周期[0,2)上N 个等间隔的抽样点，且两个相邻抽样点之间的频谱间隔samd Δ(Hz)f f N=，其越小，则称频率分辨率越高。