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届高考三角函数复习讲义

2012届高考三角函数复习讲义一、角的概念与推广:任意角的概念;角限角、终边相同的角; 二、弧度制:把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度;弧长公式:r l α=扇形面积:S=α22121r r l =⋅三角函数线:如右图,有向线段AT 与MP OM 分别叫做α 的的正切线、正弦线、余弦线。

三、同角三角函数关系:即:平方关系、商数关系、倒数关系。

四、诱导公式:()ααπf nf '±=⎪⎭⎫⎝⎛±2 记忆:单变双不变,符号看象限。

单双:即看πn 中的n 是2π的单倍还是双倍,单倍后面三角函数名变,双不变则三角函数名不变;符号看象限:即把α看成锐角,加上2πn终边落在第几象限则是第几象限角的符号。

五、有关三角函数单调区间的确定、最小正周期、奇偶性、对称性以及比较三角函数值的大小问题,一般先化简成单角三角函数式。

然后再求解。

六、三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有:1、 常数代换法:如:αααααα2222tan sec cot tan cos sin1-=⋅=+=2、 配角方法:ββαα-+=)( ()βαβαα-++=)(2 22βαβαβ--+=3、 降次与升次:22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 22αα+= 以及这些公式的变式应用。

三角函数知识框架图4、 ()θααα++=+sin cos sin 22b a b a (其中ab=θtan )的应用,注意θ的符号与象限。

5、 常见三角不等式:(1)、若x x x x tan sin .2,0<<⎪⎭⎫ ⎝⎛∈则π (2)、若2cos sin 1.2,0≤+<⎪⎭⎫⎝⎛∈x x x 则π (3)、1cos sin ≥+x x 6、 常用的三角形面积公式:(1)、c b a ch bh ah S 212121===(2)、B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21=== (3)、()22221OB OA OB OA S ⋅-⋅=七、三角函图象和性质:正弦函数图象的变换:()()αωαωω+=−−−→−+=−−−→−=−−−→−=x A y x y x y x y sin sin sin sin 振幅变换平移变换横伸缩变换三角函数的图象和性质定义域RR值 域RR周期性奇偶性对称性 奇函数,图象关于坐标原点对称偶函数,图象关于轴对称奇函数,图象关于坐标原点对称 奇函数,图象关于原点对称单调性在区间上单调递增; 在区间上单调递减。

在区间上单调递增;在区间上单调递减。

在区间上单调递增。

在区间上单调递减。

考点分析:考点一: 求三角函数的定义域、值域和最值、三角函数的性质(包括奇偶性、单调性、周期性)这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多,主要是考查三角的恒等变换及三角函数的基础知识。

样题1、已知函数f(x)=)x cos x (sin log 21-(1)求它的定义域和值域;求它的单调区间;判断它的奇偶性;判断它的周期性。

解题思路分析: (1)x 必须满足sinx-cosx>0,利用单位圆中的三角函数线及π+π<<π+π45k 2x 4k 2,k ∈Z ∴ 函数定义域为)45k 2,4k 2(π+ππ+π,k ∈Z ∵ )4x sin(2x cos x sin π-=- ∴ 当x ∈)45k 2,4k 2(π+ππ+π时,1)4x sin(0≤π-< ∴ 2cos x sin 0≤-<∴ 212log y 21-=≥∴ 函数值域为[+∞-,21] (3)∵ f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 ∴ f(x)不具备奇偶性 (4)∵ f(x+2π)=f(x) ∴ 函数f(x)最小正周期为2π注;利用单位圆中的三角函数线可知,以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准,可区分sinx-cosx 的符号。

样题2、(05年广东)化简),,)(23sin(32)2316cos()2316cos()(Z k R x x x k x k x f ∈∈++--+++=πππ并求函数)(x f 的值域和最小正周期. 解:)23sin(32)232cos()232cos()(x x k x k x f +π+-π-π++π+π= )23sin(32)23cos(2x x +π++π=x 2cos 4=所以函数f (x )的值域为[]4,4-,最小正周期πωπ==2T样题3、(1)已知cos(2α+β)+5cos β=0,求tan(α+β)·tan α的值; (2)已知5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ+θ,求θ+θ2sin 42cos 3的值。

解题思路分析:从变换角的差异着手。

∵ 2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)-α ∴ 8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0 展开得: 13cos(α+β)cos α-3sin(α+β)sin α=0 同除以cos(α+β)cos α得:tan(α+β)tan α=313 (1)以三角函数结构特点出发 ∵3tan 1tan 2cos 3sin cos sin 2-θ+θ=θ-θθ+θ ∴ 53tan 1tan 2-=-θ+θ ∴ tan θ=2∴ 57tan 1tan 8tan 33cos sin cos sin 8)sin (cos 32sin 42cos 3222222=θ+θ+θ-=θ+θθθ+θ-θ=θ+θ 样题4 求函数y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2的最大值 解:∵2sinxcosx=sin2x,sin 2x+cos 2x=1,cos 2x=2cos2x1+ ∴y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+2sinxcosx+2cos 2x=1+sin2x+2·2cos2x1+ =sin2x+cos2x+2=2(sin2x ·cos 4π+cos2x ·sin 4π)+2=2 sin(2x+4π)+2 ∴当2x+4π=2π+2k π时,y max =2+2 即x=8π+K π(K ∈Z),y的最大值为2+2注;齐次式是三角函数式中的基本式,其处理方法是化切或降幂。

考点二: 三角与其他知识的结合,三角函数仍将以选择题、填空题和解答题三种题型出现,难度会控制在中等偏易的程度;样题5、已知00<α<β<900,且sin α,sin β是方程-+-020240cos x )40cos 2(x 21=0的两个实数根,求sin(β-5α)的值。

解题思路分析:由韦达定理得sin α+sin β=2cos400,sin αsin β=cos 2400-21 ∴ sin β-sin α=)40cos 1(2sin sin 4)sin (sin )sin (sin 0222-=βα-β+α=α-β 040sin 2=又sin α+sin β=2cos400∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=α=+=β0000005sin )40sin 240cos 2(21sin 85sin )40sin 240cos 2(21sin∵ 00<α<β< 900∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=α=β00585 ∴ sin(β-5α)=sin600=23注:利用韦达定理变形寻找与sin α,sin β相关的方程组,在求出sin α,sin β后再利用单调性求α,β的值。

考点三: 关于三角函数的图象, 立足于正弦余弦的图象,重点是函数 的图象与y=sinx的图象关系。

根据图象求函数的表达式,以及三角函数图象的对称性样题6、 如下图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b .(1)求这段时间的最大温差.(2)写出这段曲线的函数解析式.解:(1)由图示,这段时间的最大温差是30-10=20(℃);(2)图中从6时到14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象.∴ωπ221⋅=14-6,解得ω=8π,由图示A =21(30-10)=10,b =21(30+10)=20,这时y =10sin(8πx +φ)+20,将x =6,y =10代入上式可取φ=43π.综上所求的解析式为y =10sin(8πx +43π)+20,x ∈[6,14].样题7(05年福建)函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图,则 ( C )A .4,2πϕπω== B .6,3πϕπω==C .4,4πϕπω==D .45,4πϕπω==样题8、(05年全国卷Ⅰ17)设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x 。

(Ⅰ)求ϕ;(Ⅱ)求函数)(x f y =的单调增区间;(Ⅲ)画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像。

(本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识,考查推理和运算能力,满分12分.) 解:(Ⅰ))(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴,,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ.43,0πϕϕπ-=<<- (Ⅱ)由(Ⅰ)知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此 由题意得 .,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为(Ⅲ)由知)432sin(π-=x yx 0 8π83π 85π 87ππy22--1 0 1 022-故函数上图像是在区间],0[)(πx f y = (略)考点四,三角函数与其它知识交汇设计试题,是突出能力、试题出新的标志,近年来多出现于三角函数与向量等知识交汇。

样题9(05年江西)已知向量b a x f x x b x x a ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(令πππ. 求函数f (x )的最大值,最小正周期,并写出f (x )在[0,π]上的单调区间. 解:)42tan()42tan()42sin(2cos 22)(πππ--++=⋅=x x x xb a x f21tan tan122()222221tan1tan222sin cos2cos1222x xx x xx xx x x+-=++⋅-+=+-xx cossin+==)4sin(2π+x.所以2)(的最大值为xf,最小正周期为,2π]4,0[)(π在xf上单调增加,[,]42ππ上单调减少.样题10、(05年山东卷)已知向量528),2,(),cos,sin2()sin,(cos=+ππ∈θθθ-=θθ=nm和,求)82cos(π+θ的值.解:)sincos,2sin(cosθθθθ++-=+nm22)sin(cos)2sin(cosθ+θ++θ-θ=+nm)sin(cos224θ-θ+=)4cos(44π+θ+=)4cos(12π+θ+=528=,得257)4cos(=π+θ又1)82(cos2)4cos(2-π+θ=π+θ所以2516)82(cos2=π+θ)82cos(898285,2<π+θ∴π<π+θ<π∴π<θ<π54)82cos(-=π+θ∴。

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