xk sk , if •rk 1 xk 1 . or xk Step5. 校正信赖域半径，令
k 1 （0， 1 k ) k 1 （ 1 k , k ) if rk 1，转步骤3； if rk [1 , 2 )，转步骤6； if rk 2，转步骤6.
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机械最优化设计作业
—信赖域方法
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1.信赖域方法的综述
信赖域法和线性搜索方法是求解非线性优化问题的两 类主要的数值方法。信赖域法也是一种迭代算法，即从给 定的初始解出发，通过逐步迭代，不断改进，直到获得满 意的近似最优解为止。 特点：思想新颖，具有可靠性、有效性和很强的收敛 性。与线性搜索方法相比，信赖域方法直接通过模型求解 得到试探步长，而不是先确定搜索方向，再寻找步长。 线搜索方向可以看成是信赖域半径充分大时的信赖域 步；而信赖域方法得出的信赖步可看成是将二次逼近模型 加上一个惩罚项之后所导致的线搜索方向。
T
.
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N 折线x1 C.P. xTHU k 1称为单折线。 DAE
解信赖域子问题
k gk （ 1 ） s k时，sk ( k 1时Cauchy 点）； gk 2
c k c （2） sk k时，再计算牛顿步 skN：
2.1 如果 skN 2.2 如果 skN
1 1 0.01， 2 0.75， 1 0.5， 2 2， 0 1，或者 0 g0 . 10
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解信赖域子问题
信赖域方法在每步迭代中求解下列形式的子问题：
1 T (k) T min q ( s) f ( xk ) g k s s Bk s （2） 2 s.t. s 2 k f ( xk )为目标函数， s x xk , gk f ( xk ) Rn , Bk 其中， k为信赖域半径， S为待求 2 f ( xk ) Rnn或者其近似， 变量。当 k 变化时，S的解形成一条空间曲线，称为最优 曲线。 Powell[1970]给出了求解（2）的单折线法，当Bk 可逆时。 用连接初始点、S0及S1 的单折线近似最优曲线，在折线上 * 取点 S * 使得 S k 作为（2）的解Sk 。
2 2
k k
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数值实验
min f ( x) 100( x2 x12 )2 (1 x1 )2
选（1.2,1 ）为初始点，与其他方 法做对比：
方法
信赖域 共轭方向 变尺度
迭代次数
8 16 32
函数值误差 最优点误差
1.2*e^(-13) 9.4*e^(-9) 9.4*e^(-9) 7.8*e^(-7) 1.5*e^(-5) 1.5*e^(-5)
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对步长接收准则的讨论
单调 非单调
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基本思想
在每次迭代中给出一个信赖域，这个信赖域一般是当 前迭代点 的一个小邻域。然后在这个邻域内求解一个子问 题，得到试探步长（trial step） ，接着用某一评价函数来决 定是否接受该试探步长以及决定下一次迭代的信赖域。 如果试探步长被接受，则： xk 1 xk sk ， 否则， xk 1 xk 。 新的信赖域的大小取决于试探步长的好坏，粗略地说，如 果试探步长较好，在下一步信赖域扩大或保持不变，否则 下一步减小信赖域。
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解信赖域子问题
其中s1是Cauchy点（由最速下降法产生 的极小点）； s2是牛顿点 （由牛顿方法产生的极 小点xkN1）。
c s1 sk k g k , s2 skN Bk1 g k , k
gT gk k g k Bk g k
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算法模型
设当前点 xk 的邻域定义为：
k x R, x xk k
（ 1 ）
其中， k 称为信赖域半径。 利用二次逼近，构造如下信赖域子问题： 1 T (k) T min q ( s) f ( xk ) g k s s Bk s （2） 2 s.t. s 2 k 其中，f ( xk )为目标函数， s x xk , gk f ( xk ) Rn , Bk
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k 1 [ k , min{ 2 k , }]
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信赖域算法
Step6. 令k=k+1,转Step2.
0 ， 0 1 2 1,0 1 1 2 , k 0.
很成功迭代：rk 2，k 1 k ，信赖域扩大； ; 成功迭代： rk [1 ,2 )，信赖域维持不变 不成功迭代：rk 1 ，信赖域缩小。 算法参数选择：
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信赖域算法
Step1. 给出初始点 x0 ，信赖域半径的上界 ，0 （0， ）， 0 ， 0 1 2 1,0 1 1 2 , k 0. Step2. 计算 g k ，如果 gk ，停止；否则，计算Bk 1 。 Step3. （近似）求解子问题（2），得到sk 。 Step4. 计算 f ( xk sk )和rk ，令
定义比值：
Aredk rk . Pr edk
它衡量了二次模型与目标函数的逼近程度 rk越接近于1， 表明接近程度越好。因此用它来确定下次迭代的信赖域半 径。
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信赖域半径的选择
（1）rk 越接近于1，表明接近程度越好，这时可以增大 k 以扩大信赖域； （2）rk >0但是不接近于1，保持 k 不变； （3）如果 rk 接近于0，减小 k ，缩小信赖域。 或者其他 k 的选择方法（后面介绍）。
2 f ( xk ) Rnn或者其近似。
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算法模型
设sk 是信赖域子问题（2）的解，定义目标函数第k步 的真实下降量为： Aredk f ( xk ) - f ( xk sk )
(k) 称二次模型函数 q (s) 的下降量为预测下降量：
Predk q(k) (0) - q(k) (sk )
2 2
k，则sk skN；
c c k，则sk sk ( skN sk ),
其中，为方程：
c c sk ( skN sk ) k的解。
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解信赖域子问题
综上所述： k gk c x ， 当 s k k k g k 2 c c c xk 1 xk sk ( skN sk ),当 sk k 且 skN 1 c N x B g ， 当 s 且 s k k k k k k