o 1
th x 双曲正切
y th x
x
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练习 1.1 题5.
51 : y x x 1 x 1
定义域为x R, f - x =-x - x-1 - x +1 =-x x +1 x-1 =-f x , f x =x x-1 x +1 为奇函数.
1 ) , 并写出定义域及值域 . ) 求 f (1 及 f ( 2 t
)2 解: f ( 1 2
1 2

2
1 1 , 0 t 1 t 1 f (t ) 2 t 1 , t 定义域 D [0 , )
值 域 f ( D ) [0 , )
机动
t 0时
函数无定义
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f ( D ) 称为值域 函数图形: C ( x , y) y f ( x) , x D
y y

机动
D f ( D)
a x b ( D [a, b] )
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x
结束
xD
(定义域) • 定义域
f
y f (D) y y f ( x), x D
( 自学, P7 )
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x , 故为初等函数.
2
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
非初等函数举例: 符号函数 当x>0 当x=0 当x<0 取整函数
y
1
1
o
x
当
y
2 1 o
1
2 3
4
x
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x2 , 1 x 0 ln x , 0 x 1 的反函数及其定义域. 例2. 求 y 2 e x1 , 1 x 2 y 2e 2 解 : 当 1 x 0 时, y x ( 0 , 1 ] , 则 x y , y ( 0 , 1]
第一章 函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第1节 1.1 函数
1.1.1 区间和邻域 1.1.2 函数的概念 1.1.3函数的几种特性
第一章
1.1.4 反函数与复合函数 1.1.5 初等函数
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1.1.1 区间和邻域
设 a 和 b 都是实数， 开区间： 且 a b, 则数集
可定义复合
两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0 u cot v , v k (k 0, 1, 2 ,) x v , x (, ) 2 可定义复合函数:
nZ
x x k k 时 , cot 0 2 2 2
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练习 习题1.1 题1：（3）、（6）
3 y tan x 1 ,
x 1

2
k , x

2
k 1 k z ,
tan x 1 定义域为 x x +k -1,k z . 2
5 x-x 2 , 6 y = lg 4
(值域)
(对应规则)
使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合. • 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法
例如, 反正弦主值
定义域 值域
又如, 绝对值函数
定义域 值 域
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2 x , 0 x 1 例1. 已知函数 y f ( x) 1 x , x 1
则
① ②
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 g ( D ) D 1 不可少.
例如, 函数链 : y arcsin u , 函数 但函数链 y arcsin u , u 2 x 2 不能构成复合函数 .
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1.1.5. 初等函数
(1) 基本初等函数
幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 (2) 初等函数
由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则称为非初等函数 . x, x0 可表为 y 例如 , y x, x0
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
a , b x
称为半开半闭区间。
无限区间
a x<b
,
a a a
点的 邻域
(
)
去心 邻域
其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 . 左 邻域 : 右 邻域 :
1.1.2 函数的概念
定义1.1.1. 设数集 D R , 则称映射 D 上的函数 , 记为 y f ( x) , x D 因变量 自变量 定义域 为定义在
2 y=3x -x ,
2 3
定义域为x R, f - x =3x +x - f x f x ,
2 3
f x =3x -x 为非奇非偶函数.
2 3
(4) 周期性
x D, l 0 , 且 x l D, 若
则称 f ( x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
当 0 x 1 时, y ln x ( , 0 ] , 则 x e , y ( , 0] 当 1 x 2 时, y 2 e x 1 ( 2 , 2 e ] , y 则 x 1 ln 2 , y ( 2, 2e ] 反函数 y
y
2
1 1 o 1
x
a xb

, a 和b
称为 开
( a ,b ) x a x b
称为开区间，记为 a, b , 即 区间的端点。
闭区间：数集 x a x b 称为闭区间，即
[ a , b ] x a x b ,
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类似地有 a , b ] x a<x b ,
2x
定义域为 ( , 1] ( 2 , 2 e ]
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内容小结
1. 集合及映射的概念 2. 函数的定义及函数的二要素 3. 函数的特性 4. 初等函数的结构 定义域
对应规律
有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性
作业 习题1.1
P7 1 (2),(5) ; P8 3; 7(4); 8
y
2
o 2 x
周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 f ( x) C 狄里克雷函数
周期为
1, 0,
x 为有理数
x 为无理数
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1.1.4. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质 若函数
1
为单射, 则存在逆映射
y
yx
Q(b, a )
y f ( x)
例如 ,
指数函数 y e x , x ( , ) 对数函数 它们都单调递增, 其图形关于直线
o
x
互为反函数 , 对称 .
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(2) 复合函数 — 复合映射的特例 设有函数链 y f (u ), u D1 且 g ( D) D 1
称此映射 f
为 f 的反函数 .
习惯上, y f ( x) , x D 的反函数记成
y f 1 ( x) , x f ( D)
性质: 1) y＝f (x) 单调递增 (减) 其反函数 且也单调递增 (减) .
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2) 函数 对称 .
与其反函数 的图形关于直线
由题意，y要有意义，必须满足 5x -x 2 4 >0, 0<x <5, 2 1 x 4. 5 x -x 1 x 4 lg 4 0 定义域为 x 1 x 4 .
1.1.3. 函数的几种特性 设函数 y f ( x) , x D , 且有区间 I D . (1) 有界性 x D , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f ( x) 为有界函数. x I , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f ( x) 在 I 上有界. 说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (2) 单调性 x1 x2 时, x1 , x2 I , 当 y , f ( x) M , 称 为有上界 若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f ( x) 为 I 上的 , M f (单调增函数 x), 称 为有下界 ; )1 x M ,x D, 使 f ( xx ( x) 为 Ix 若 若对任意正数 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 上的 M ,f 均存在 2 单调减函数 . 则称 f ( x ) 无界 .
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(3) 奇偶性 x D, 且有 x D,
若 若 则称 f (x) 为偶函数; 则称 f (x) 为奇函数.
y
x o
y
说明: 若 f ( x ) 在 x = 0 有定义 ,则当
x x
f ( x ) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
例如,
e x e x y f ( x) 偶函数 2
记
e