《概率论与数理统计》期末考试试题（A ）专业、班级：姓名：学号：题号一二三四五六七八九十十一十二总成绩得分一、单项选择题 (每题 3 分1．D 2．A 3．B 共 18分)4．A 5．A6．B若事件A、B适合P(AB)0 ,则以下说法正确的是().(A) A 与B 互斥(互不相容);(B) P( A)0 或P(B)0 ;(C) A 与 B 同时出现是不可能事件 ;（1） (D) P(A) 0 , 则 P (B A)0.（ 2）设随机变量X其概率分布为X -1012P0.20.30.10.4则 P{ X 1.5}（）。

(A)0.6(B) 1(C) 0(D)1 2（ 3）设事件 A1与 A2同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是（）（ A ）P ( )()（B）P(A) P(A1) P( A2) 1 A P A1A2（ C）( )()（ D）PA PA1A2P(A)P(A1) P(A2) 1（ 4）设随机变量X~N(3, 1),Y ~ N(2,1),且X与Y相互独立,令Z X2Y 7, 则 Z~().(A) N (0, 5);(B) N (0,3);(C) N (0, 46);(D) N (0, 54).（5）设X1,X2,, X n为正态总体 N ( ,2) 的一个简单随机样本，其中2,未知，则（）是一个统计量。

(A)n22(B)n) 2 X i( X ii1i1(C) X(D)X（6）设样本X1, X2,, X n来自总体 X ~ N ( ,2 ), 2 未知。

统计假设为H0：（已知）：。

则所用统计量为（）00H 10(A) U X0(B) TX0 n S n(C)2( n 1)S2(D)21n2( X i) 22i 1二、填空题 (每空 3分共15分)1. P(B)2. f (x)xe x x0,3e 23.14.t(9)0x0（1）如果P( A) 0, P( B)0, P(A B)P(A)，则 P(B A).（ 2）设随机变量X的分布函数为0,x0,F ( x)(1 x)e x ,x0.1则 X 的密度函数 f ( x)， P(X2).（ 3）设?1 ,?2 ,?3是总体分布中参数的无偏估计量 ,?a?1 2?2 3?3,当 a ________时, ?也是的无偏估计量 .（ 4）设总体X和Y相互独立,且都服从N (0,1)， X1,X2,X9是来自总体X的样本， Y1 ,Y2 , Y9是来自总体Y 的样本，则统计量X 1X 9 UY92Y12服从分布（要求给出自由度）。

三、 (6 分) 设 A, B 相互独立， P(A)0.7 ， P(A B) 0.88 ，求 P( A B) .解： 0.88=P( A B)P( A) P(B) P( AB)=P(A) P( B)P( A)P(B)(因为 A, B 相互独立 )⋯⋯ ..2 分=0.7 P( B) 0.7P(B)⋯⋯⋯⋯ 3 分 则P(B) 0.6⋯⋯⋯⋯ .4 分P(A B)P( A) P( AB) P( A) P( A)P(B)0.70.7 0.60.28⋯⋯⋯⋯ 6 分四、（6 分）某宾馆大楼有 4 部电梯，通过调查，知道在某时刻 T ，各电梯在运行的概率均为 0.7 ，求在此时刻至少有 1 台电梯在运行的概率。

解：用 X 表示时刻 T 运行的电梯数， 则 X ~ b(4, 0.7) ⋯⋯⋯ ...2 分 所求概率P X 1 1 P X 0⋯⋯⋯⋯ 4 分1 C 40 (0.7)0 (1 0.7) 4 =0.9919⋯⋯⋯⋯ .6 分五、（ 6 分 ）设随机变量 X 的概率密度为 e x , x 0 f ( x)，0,其它求随机变量 Y=2X+1 的概率密度。

解：因为 y2x 1是单调可导的，故可用公式法计算 ⋯⋯⋯⋯ .1 分当 X 0时，Y 1⋯⋯⋯⋯ .2 分由 y2x 1， 得 xy 1, x'1 ⋯⋯⋯⋯ 4 分22f (y 11 1)y从而 Y 的密度函数为 f Y ( y)22⋯⋯⋯⋯ ..5 分y 11 y1e 2y 12⋯⋯⋯⋯ ..6 分=0 y 1六、（ 8 分 ） 已知随机变量 X 和 Y 的概率分布为X10 1 Y011 1 1 1 1P2 4P242而且 P{ XY0} 1.(1) 求随机变量 X 和 Y 的联合分布 ;(2)判断 X 与 Y 是否相互独立 ?解：因为 P XY 0 1，所以 P XY0 0(1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出Y -11X1 01 141 42 12121 1 1424⋯⋯⋯⋯ .4 分(2) 因为1 1 1PX0,Y00PX0PY02 42所以 X 与 Y 不相互独立⋯⋯⋯⋯ 8 分七、（ 8 分）设二维随机变量( X ,Y)的联合密度函数为12e (3 x 4 y) , x0, y 0,f (x, y)0,其他.求：（1）P(0 X1,0 Y 2) ；（2）求 X 的边缘密度。

12解：（1）P(0X 1,0Y 2)dx 12e (3 x 4 y ) dy⋯⋯⋯⋯ ..2 分00124e 4 y dy = e 3 x1e 4 y23e3x dx0000=[ 1e 3] [1 e 8 ]⋯⋯⋯⋯.4分（ 2）f X ( x)12e(3 x 4 y) dy⋯⋯⋯⋯ ..6 分3e 3x x0⋯⋯⋯⋯⋯ ..8分0x0八、（ 6分） 一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从参数为1的指数分4布。

工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。

若工厂售出一台设备盈利 100 元，调换一台设备厂方需花费 300 元，求工厂出售一台设备净盈利的期望。

1)1 e 1 x解： 因为 X ~ e(得 f (x)4x⋯⋯⋯⋯ .2 分440 x用 Y 表示出售一台设备的净盈利Y100X 1 ⋯⋯⋯⋯ 3 分100 300 0X1x 1则P(Y100)1 1e 4 dxe 44x1P Y2001 1e 4 dx1 e 4⋯⋯⋯ ..4 分411所以EY 100 e 4( 200)(1 e 4 )1300e 4 20033.64 （元）⋯⋯⋯ ..6 分九、（ 8分）设随机变量X 与 Y的数学期望分别为2 和 2，方差分别为1 和 4，而相关系数为0.5，求 E(2 XY),D(2 XY) 。

解：已知EX2,EY2,DX1,DY4,XY0.5则E(2 XY)2EXEY2 (2)26⋯⋯⋯ .4 分D(2XY)D(2X )DY2 cov( 2X , Y)⋯⋯⋯ .5 分2DXDY4 cov( X ,Y)⋯⋯⋯ .6 分2DXDY4 DXDY XY=12⋯⋯⋯⋯ ..8 分十、（ 7 分）设供电站供应某地区1 000 户居民用电，各户用电情况相互独立。

已知每户每日用电量（单位：度）服从[0，20]上的均匀分布，利用中心极限定理求这 1 000 户居民每日用电量超过10 100 度的概率。

（所求概率用标准正态分布函数 ( x) 的值表示）.解：用 X i表示第i户居民的用电量，则 X i ~ U [ 0,20]EX i 0 20DX i(20 0)2100⋯⋯⋯2分1012321000则 1000 户居民的用电量为X X i，由独立同分布中心极限定理i1P X10100 1P X10100⋯⋯⋯3分=1X1000 1010100 100010⋯⋯⋯4分P1001001000100033110100100010⋯⋯⋯ .6 分(100)10003=1( 3 )⋯⋯⋯7分10十一、（ 7 分）设x1, x2,, x n是取自总体X的一组样本值， X 的密度函数为(1) x,0 x1,f ( x)其他 ,0,其中0 未知，求的最大似然估计。

解 :最大似然函数为n n⋯⋯⋯ .2 分L( x1 ,, x n , ) f ( x i )(1) x ii 1i 1= (1) n ( x1 ,, x n )⋯⋯⋯ .3 分则ln L( x 1,, x n , ) n ln(1) ln( x 1 , , x n )0 x 1 , , x n 1⋯⋯⋯ ..4 分令 d ln Ln ln( x 1,, x n )⋯⋯⋯ ..5 分d1于是 的最大似然估计：?1n。

⋯⋯⋯ .7 分ln ln( x 1 ,, x n )十二、（ 5 分）某商店每天每百元投资的利润率X ~ N ( ,1) 服从正态分布， 均值为，长期以来方差 2稳定为 1，现随机抽取的100 天的利润，样本均值为x5 ，试求的置信水平为 95% 的置信区间。

（ t 0.05 (100)1.99,(1.96)0.975 ）解： 因为已知，且X~ N(0,1)⋯⋯⋯⋯ 1 分n故PXU1⋯⋯⋯⋯ 2 分n 2依题意0.05, U1.96, n 100,1, x 52则 的置信水平为 95%的置信区间为[ x U, x U] ⋯⋯⋯⋯ 4 分2n2n即为[4.801,5.199]⋯⋯⋯⋯ 5 分。