相似： 22（10分）（1）如图1，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=5，∠MPN=90°，且 ∠MPN 的直角顶点在BC 边上，BP=1．①特殊情形：若MP 过点A ，NP 过点D ，则PAPD _______．②类比探究：如图2，将∠MPN 绕点P 按逆时针方向旋转，使PM 交AB 边于点E ，PN 交AD 边于点F ，当点E 与点B 重合时，停止旋转．在旋转过程中，PEPF 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．（2）拓展探究：在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD ⊥AB ，⊙A 的半径为1，点E 是⊙A 上一动点，CF ⊥CE 交AD 于点F ．请直接写出当△AEB 为直角三角形时ECFC 的值． AB CDMP NE FA DNCPBMDCBAEF22（10分）如图1，菱形ABCD 是边长为2，∠BAD=60°，对角线AC ，BD 交于点O ．（1）操作发现小芳同学将△CBD 绕点O 旋转得△CEF ，当CF 落在AD 上时（如图2），连接ED ，请直接写出ED 与AC 的位置关系和数量关系． （2）问题解决小芳同学继续旋转△CEF （A ，C 不重合），如图3，连接ED ，AC ，她认为（1）中的结论仍然成立，你同意吗？说明理由． （3）深入思考若直线ED 与直线AC 的交点为H ，请直接写出BH 的最大值．ABC ODF ED O CBADA BCOEF22．（10分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，＝，CD ⊥AB 于点D ，点E 是直线AC 上一动点，连接DE ，过点D 作FD ⊥ED ，交直线BC 于点F ． （1）探究发现：如图1，若m ＝n ，点E 在线段AC 上，则＝_____________ ；（2）数学思考：①如图2，若点E 在线段AC 上，则＝____________ （用含m ，n 的代数式表示）；②当点E 在直线AC 上运动时，①中的结论是否任然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC ＝，BC ＝2，DF ＝4，请直接写出CE 的长．22．（10分）阅读下列材料：已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造□APBQ，求对角线PQ的最小值及此时的值是多少．在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短．进而，小明构造出了如图2的辅助线，并求得PQ的最小值为3．参考小明的做法，解决以下问题：（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ的长度最小时，＝；（2）如图3，延长PA到点E，使AE＝nPA（n为大于0的常数）．以PE，PB为边作□PBQE，那么对角线PQ的最小值为，此时＝；（3）如图4，如果P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AE＝nPA（n为大于0的常数），以PE，PC为边作□PCQE，那么对角线PQ的最小值为，此时＝．22．（10分）（1）【问题发现】如图1，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 为BC 的中点，以CD 为一边作正方形CDEF ，点E 恰好与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为 ． （2）【拓展探究】在（1）的条件下，如果正方形CDEF 绕点C 旋转，请判断线段BE 与AF 的数量关系，并就图2的情形说明理由． （3）【问题解决】当AB ＝AC ＝2，且第（2）中的正方形CDEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时，请直接写出线段AF 的长．如图1，在正方形ABCD 和正方形AB′C′D′中，AB =2，AB′2，连接CC′．（1）问题发现：CC BB '='__________；（2）拓展探究：将正方形AB′C′D′绕点A 逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB′，试判断：当0°≤θ＜360°时，CC BB''的值有无变化？请仅就图2中的情形给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C ，C′，D′三点共线时BB′的长．D′C′B′ABCD 图1图2DCBA B′C′D′A BCD备用图如图1，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ． （1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形；②推断AGBE的值为_______．（2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG =6，GH =22，则BC =________．GFDC BAE图1ABCD EFG图2H GF EDCBA 图322．（10分）（1）问题发现如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，＝1，点P 是边BC 上一动点（不与点B 重合），∠PAD ＝90°，∠APD ＝∠B ，连接CD ． 填空：①＝________ ；②∠ACD 的度数为_________ ． （2）拓展探究如图2，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，＝k ．点P 是边BC 上一动点（不与点B 重合），∠PAD ＝90°，∠APD ＝∠B ，连接CD ，请判断∠ACD 与∠B 的数量关系以及PB 与CD 之间的数量关系，并说明理由． （3）解决问题如图3，在△ABC 中，∠B ＝45°，AB ＝4，BC ＝12，P 是边BC 上一动点（不与点B 重合），∠PAD ＝∠BAC ，∠APD ＝∠B ，连接CD ．若PA ＝5，请直接写出CD 的长．1. 问题发现：如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是边AB 上的一点，过点D作DE ∥BC 交AC 于E ，则线段BD 与CE 的数量关系为___________； 拓展探究：如图2，将△ADE 绕点A 逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明；问题解决：如果△ABC 的边长等于23，AD =2，直接写出当△ADE 旋转到DE 与AC 所在的直线垂直时BD 的长．图1EDCBA 图2ABCDE备用图E D CBA22．（10分）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D ，E 两点分别在AC ，BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现：当α＝0°时，的值为 ；（2）拓展探究：试判断：当0°⩽α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决：设CE ＝13，AC ＝12，当△EDC 旋转至A ，B ，E 三点共线时，直接写出线段BE 的长．22．（10分）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D ，E 两点分别在AB ，AC 上，且DE ∥AB ，将△ADE 绕点A 顺时针旋转，记旋转角为α．（1）问题发现 当a ＝0°时，线段BD ，CE 的数量关系是 ； （2）拓展探究 当0°≤a ＜360°时，（1）中的结论有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）问题解决 设DE ＝，BC ＝3，0°≤α＜360°，△ADE 旋转至A ，B ，E三点共线时，直接写出线段BE 的长．1. （本小题分10分）（1）问题发现：如图1，在等边三角形ABC 中，点M 为BC 边上异于B ，C 的一点，以AM 为边作等边三角形AMN ，连接CN ，NC 与AB 的位置关系为_________； （2）深入研究：如图2，在等腰三角形ABC 中，BA =BC ，点M 为BC 边上异于B ，C 的一点，以AM 为边作等腰三角形AMN ，使∠ABC =∠AMN ，AM =MN ，连接CN ，试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸：如图3，在正方形ADBC 中，点M 为BC 边上异于B ，C 的一点，以AM 为边作正方形AMEF ，点N 为正方形AMEF 的中心，连接CN ，若BC =10，CN 2，试求EF 的长．NM C BA图1 图2 图31. （11分）如图1，正方形ABCD 和正方形AEFG ，连接DG ，BE ．F EDABCMNAB CM N（1）发现当正方形AEFG 绕点A 旋转，如图2，①线段DG 与BE 之间的数量关系是______________． ②直线DG 与直线BE 之间的位置关系是_________________． （2）探究如图3，若四边形ABCD 与四边形AEFG 都为矩形，且AD =2AB ，AG =2AE ，求证：直线DG ⊥BE ． （3）应用在（2）情况下，连接GE （点E 在AB 上方），若GE ∥AB ，且ABAE =1，则线段DG 是多少？（直接写出结论）G FEDCB AGFE D CBAGFEDCB A图1 图2 图31. 在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 在线段BC 上（不含点B ），∠BPE =12∠ACB ，PE 交BO 于点E ，过点B 作BF ⊥PE ，垂足为F ，交AC 于点G ．（1）当点P 与点C 重合时（如图1），求证：△BOG ≌△POE ； （2）结合图2，通过观察、测量，猜想：BFPE=__________，并证明你的猜想； （3）把正方形ABCD 改为菱形，其他条件不变（如图3），若AC =8，BD =6，直接写出BFPE的值． 图3图2图1ADGO F EBPC PADG OF EBCC (P )G F E O DBA（1）问题发现：如图1，在等边△ABC 中，点D 为BC 边上一动点，DE ∥AB 交AC 于点E ，将AD 绕点D 顺时针旋转60°得到DF ，连接CF ．则AE 与FC 的数量关系是__________，∠ACF 的度数为_________．（2）拓展探究：如图2，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠ACB =60°，点D 为BC边上一动点，DE ∥AB 交AC 于点E ，当∠ADF =∠ACF =90°时，求AEFC的值．（3）解决问题：如图3，在△ABC 中，BC :AB =m ，点D 为BC 的延长线上一点，过点D 作DE ∥AB 交AC 的延长线于点E ，直接写出当∠ADF =∠ACF =∠ABC 时AEFC的值．图1ABCD EF图2ABC D EF图3AB C DEF。