计算机控制技术课程设计实验：直线一级倒立摆系统的建模及仿真一、已知条件：图1倒立摆简化模型摆杆角度为输出，小车的位移为输入。

导轨中点为坐标轴的中心即零点，右向为坐标值增加的方向，杆偏移其瞬时平衡位置右侧的角度为正值。

二、任务要求：总体任务通过调节PID参数，设计PID控制器实现摆杆在受到干扰的情况下，依然能恢复平衡。

具体包括以下几部分：1. 理论推导包括倒立摆系统的动力学模型，传递函数，离散传递函数，状态空间或差分方程，稳定性分析，PID控制器设计2. 程序实现实现内容：倒立摆系统模型，控制器以及仿真结果的显示。

开发语言和工具：Matlab m 文件或C/C++ (工具：VC++或其它)3. PID控制参数设定及仿真结果。

分别列出不同杆长的仿真结果（例如：L=0.25 和L=0.5）。

4. 将理论推导、程序实现、仿真结果写成实验报告。

具体求解过程如下：一，倒立摆系统动力学模型的建立图1 摆杆的受力分析图以摆杆为研究对象，对其进行受力分析，如图1所示。

根据质点系的达朗贝尔原理得IC I 0F CP mg CP M →→⨯+⨯-= （1）式中，IC F 为杆的惯性力，表达式为()IC C P CP CP IP ICP ICP t n t nF ma m a a a F F F ==++=++，m 为杆的质量，g 为重力加速度，I M 为杆的惯性力偶。

惯性力及惯性力偶的大小分别为2222IP P ICP I c 2221,,3t d x d d F ma m F m m M J mL dt dt dt θθαα======（2）式中，α为杆的角加速度，P a 为小车的加速度，2L 为杆的长度，θ为杆偏离中心位置的角度，x 偏离轨道中心的位移。

对（2）式代入（1）式，并整理可得22224sin cos 3d d x L g dt dt θθθ-=-（3） 当摆动较小时，可以进行近似处理sin ,cos 1θθθ≈≈。

故（3）式可化为222243d d xL g dt dtθθ-=- （4） 对（4）式进行拉普拉斯变换得()()()2243Ls s g s s X s Θ-Θ=- （5） I PIC Fmg则系统的开环传递函数为()()()222243s s as G s X s s agLs g Θ--===-- （6）式中，34a L=二，离散传递函数，差分方程、状态空间及稳定性分析 1，离散传递函数将连续系统离散化，根据连续传递函数()G s 可求得相应的脉冲传递函数为()()()()()121121212111222/2/21Ts e as G z Z G s z Z s s ag a z Z ez eza a a ab z abz bz z ---------⎡⎤⎡⎤--==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤=---+--=--++-=-+ （7）式中，b e =+。

将参数1,10,0.01L g T ===代入（7）式得该参数下的脉冲传递函数为()12120.75 1.500.75031 2.001z z G z z z-----+-=-+ （8） 2，根据离散传递函数求系统差分方程由()()()()1212/2/21z a a ab z abz G z X z bz z ----Θ-++-==-+可得()()()()()()121222ab ab z bz z z z aX z a z X z z X z ----⎛⎫Θ-Θ+Θ=-++- ⎪⎝⎭ （9）进行反变换即可得到对应的差分方程()()()()()()121222ab ab k b k k ax k a x k x k θθθ⎛⎫--+-=-++--- ⎪⎝⎭ （10）将参数1,10,0.01L g T ===代入（10）式得该参数下的差分方程为()()()()()()2.001120.75 1.5010.75032k k k x k x k x k θθθ--+-=-+---（11） 3，根据离散传递函数求系统状态空间表达式 根据()()()()12121212/2/2211ab a z bz z a a ab z abz G z a X z bz z bz z--------⎛⎫-- ⎪Θ-++-⎝⎭===-+-+-+ 设()()121X z W z bz z --=-+ （12）则()()()()()()()()121222W z bz W z z W z X z ab ab z aX z a z W z a z W z ----=-+⎛⎫⎛⎫Θ=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （13） 选取状态变量()()()()()121121,X z z W z X z z W z z X z ---=== （14） 将()W z 代入()()12,X z X z ，取z 反变换，可得状态方程()()()()()()()()()112212111100122x k x k b x k x k x k ab ab k ax k a x k a x k θ+⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （15）将参数1,10,0.01L g T ===代入（15）式得该参数下的状态方程为()()()()()()()()()1122121 2.00081110010.750.00030.0003x k x k x k x k x k k x k x k x k θ+⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=--- （16） 4，稳定性分析对于开环系统，由传递函数可得系统的特征方程为()2 2.0011z z z ∆=-+ （17） 特征方程的根为121.032,0.969z z ==。

由于特征根中有一个大于1，位于单位圆外，故系统是不稳定的。

四，PID 控制器设计由以上分析可知，系统是不稳定的，为使倒立摆在受到干扰时能保持稳定，必须对系统进行PID 控制器的设计。

倒立摆计算机控制系统的框图如下模拟PID 控制器的基本算式为()()()()()01kP I D j x k K e k K e j K e k e k ==++--⎡⎤⎣⎦∑ （18）根据式（16）和（18）可求得在不同,,P I D K K K 下的摆角值。

具体的仿真过程如下：1，取I D 2.0,0.3K K =-=-固定不变，P K 分别取0.5,1.0,1.5,2.0，倒立摆的输出变化曲线如下：(a1)KP=0.5,KI=-2.0,KD=-0.3t/sθ(b1)(c1)KP=1.0,KI=-2.0,KD=-0.3t/sθKP=1.5,KI=-2.0,KD=-0.3t/sθ(d1)由图(a1)、(b1)、(c1)、(d1)可知，当P 0.5K =时，倒立摆在受到干扰时可以达到稳定；继续增大P K 到1.0，系统的调节时间变短；当P 1.5K =时，虽然倒立摆仍能稳定，但调节时间变长；当P 2.0K =时，倒立摆已无法恢复稳定。

2，取P D 1.0,0.3K K ==-固定不变，I K 分别取-0.5,-1.5,-2.5,-3.5，倒立摆的输出变化曲线如下：(a2)-2-1.5-1-0.500.511.542KP=2.0,KI=-2.0,KD=-0.3t/sθKP=1.0,KI=-0.5,KD=-0.3t/sθ(b2)(c2)KP=1.0,KI=-1.5,KD=-0.3t/sθKP=1.0,KI=-2.5,KD=-0.3t/sθ(d2)由图(a2)、(b2)、(c2)、(d2)可知，当I 0.5K =-时，倒立摆在受到干扰时开始可以达到稳定，但当时间变长后无法达到稳定；继续减小I K 到-1.5，系统可以达到稳定；当I 2.5K =-时，系统的调节时间变短；当I K 减小到-3.5时，倒立摆已无法恢复稳定。

3，取P I 1.0, 2.0K K ==-固定不变，D K 分别取-0.1,-0.3,-0.5,-0.7，倒立摆的输出变化,曲线如下：8KP=1.0,KI=-3.5,KD=-0.3t/sθKP=1.0,KI=-2.0,KD=-0.1t/sθ(a3)(b3)(c3)KP=1.0,KI=-2.0,KD=-0.3t/sθ012345678910KP=1.0,KI=-2.0,KD=-0.5t/sθ(d3)由图(a3)、(b3)、(c3)、(d3)可知，当I K 从-0.1减小到-0.7时，倒立摆在受到干扰时达到稳定的调节时间先减小后增大，到-0.7时系统已无法恢复稳定。

五，改变杆长后的仿真结果将杆长由1L =改为0.5L =，系统的仿真结果如下： 1，取I D 1.2,0.1K K =-=-固定不变，P K 分别取0.2,0.4,0.8,1.0，倒立摆的输出变化曲线如下：(a11)17KP=1.0,KI=-2.0,KD=-0.7t/sθKP=0.2,KI=-1.2,KD=-0.1t/sθ(b11)(c11)KP=0.4,KI=-1.2,KD=-0.1t/sθKP=0.8,KI=-1.2,KD=-0.1t/sθ(d11)由图(a11)、(b11)、(c11)、(d11)可知，当P 0.2K =时，倒立摆在受到干扰时可以达到稳定；继续增大P K 到0.4，系统的调节时间变短；当P 0.8K =时，虽然倒立摆仍能稳定，但调节时间变长；当P 1.0K =时，倒立摆已无法恢复稳定。

2，取P D 0.4,0.1K K ==-固定不变，I K 分别取-1.0,-1.3,-1.6,-1.9，倒立摆的输出变化曲线如下：51KP=1.0,KI=-1.2,KD=-0.1t/sθKP=0.4,KI=-1.0,KD=-0.1t/sθ(a12)(b12)(c12)KP=0.4,KI=-1.3,KD=-0.1t/sθ12345678910KP=0.4,KI=-1.6,KD=-0.1t/sθ(d12)由图(a12)、(b12)、(c12)、(d12)可知，当I 1.0K =-时，倒立摆在受到干扰时开始可以达到稳定，但当时间变长时会失去稳定；继续减小I K 到-1.3，系统可以达到稳定；当I 1.6K =-时系统可以稳定但调节时间变长；当I K 减小到-1.9时，倒立摆已无法恢复稳定。

3，取P I 0.4, 1.2K K ==-固定不变，D K 分别取-0.01,-0.1,-0.2,-0.24，倒立摆的输出变化,曲线如下：96KP=0.4,KI=-1.9,KD=-0.1t/sθKP=0.4,KI=-1.2,KD=-0.01t/sθ(a13)(b13)(c13)KP=0.4,KI=-1.2,KD=-0.1t/sθ012345678910KP=0.4,KI=-1.2,KD=-0.2t/sθ(d13)由图(a13)、(b13)、(c13)、(d13)可知，当I K 从-0.01减小到-0.24时，倒立摆在受到干扰时达到稳定的调节时间先减小后增大，到-0.24时系统已无法恢复稳定。