解答题滚动练6
1．在△ABC 中，三个内角分别为A ，B ，C ，已知sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A . (1)若cos C ＝63
，求证：2a －3c ＝0； (2)若B ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π3，且cos(A －B )＝45，求sin B . (1)证明 因为sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A ，得32sin A ＋12cos A ＝2cos A ， 即sin A ＝3cos A ，因为A ∈(0，π)，且cos A ≠0，
所以tan A ＝3，所以A ＝π3
. 因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，cos C ＝
63，C ∈(0，π)， 所以sin C ＝33
， 由正弦定理知a sin A ＝c sin C ，即a c ＝sin A sin C ＝3233
＝32
， 即2a －3c ＝0.
(2)解 因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以A －B ＝π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3， 因为sin 2(A －B )＋cos 2(A －B )＝1， 所以sin(A －B )＝35
， 所以sin B ＝sin(A －(A －B ))＝sin A cos(A －B )－cos A ·sin(A －B )＝43－310
. 2．已知函数f (x )＝ax 3－2x －ln x ，a ∈R .
(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝b ，求a ＋b 的值；
(2)在(1)的条件下，求函数f (x )零点的个数．
解 (1)f ′(x )＝3ax 2－2－1x
， 由题意，f ′(1)＝0，f (1)＝b ，解得，a ＝1，b ＝－1，
所以a ＋b ＝0.
(2)由(1)知，f (x )＝x 3
－2x －ln x ，
f ′(x )＝3x 2－2－1x ＝3x 3
－2x －1x
＝(x －1)(3x 2
＋3x ＋1)x
， 令f ′(x )＝0，得x ＝1，
且当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0，
所以函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
因为f (1)＝－1＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e 3－2e ＋1＞0，f (e)＝e 3－2e －1＞0，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，1和[1，e]上的图象是一条不间断的曲线，由零点存在性定理，知函数f (x )有两个零点．
3．已知圆M ：x 2＋(y －4)2
＝4，点P 是直线l ：x －2y ＝0上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .
(1)当切线PA 的长度为23时，求点P 的坐标；
(2)若△PAM 的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)求线段AB 长度的最小值．
解 (1)由题意可知，圆M 的半径r ＝2，设P (2b ，b )，
因为PA 是圆M 的一条切线，A 为切点，
所以∠MAP ＝90°，
所以MP ＝(0－2b )2＋(4－b )2＝AM 2＋AP 2＝4，
解得b ＝0或b ＝85
， 所以P (0,0)或P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫165，85. (2)设P (2b ，b )，因为∠MAP ＝90°，所以经过A ，P ，M 三点的圆N 以MP 为直径， 其方程为(x －b )2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b ＋422＝4b 2＋(b －4)24， 即(2x ＋y －4)b －(x 2＋y 2－4y )＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4＝0，x 2＋y 2－4y ＝0，
解得⎩⎨⎧ x ＝0，
y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝85，y ＝45，
所以圆过定点(0,4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. (3)因为圆N 方程为(x －b )2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －b ＋422＝4b 2＋(b －4)24，
即x 2＋y 2－2bx －(b ＋4)y ＋4b ＝0.①
圆M ：x 2＋(y －4)2＝4，即x 2＋y 2－8y ＋12＝0.②
②－①得圆M 与圆N 的相交弦AB 所在直线方程为
2bx ＋(b －4)y ＋12－4b ＝0，
点M 到直线AB 的距离d ＝45b 2－8b ＋16
， 相交弦长AB ＝24－d 2＝4
1－45b 2－8b ＋16 ＝41－
45⎝ ⎛⎭⎪⎫b －452＋645. 当b ＝45
时，AB 有最小值11. 4．如图是一“T ”型水渠的平面视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m ，东西向渠宽2m(从拐角处，即图中A ，B 处开始)．假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)．
(1)在水平面内，过点A 的一条直线与水渠的内壁交于P ，Q 两点，且与水渠的一边的夹角为
θ⎝
⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，将线段PQ
的长度l 表示为θ的函数； (2)若从南面漂来一根长为7m 的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由．
解 (1)由题意，PA ＝2sin θ，QA ＝4cos θ，所以l ＝PA ＋QA ＝2sin θ＋4cos θ
⎝
⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2. (2)设f (θ)＝2sin θ＋4cos θ，θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2. 由f ′(θ)＝－2cos θsin 2θ＋4sin θcos 2θ＝2(22sin 3θ－cos 3θ)sin 2θcos 2θ
， 令f ′(θ)＝0，得tan θ0＝22. 且当θ∈(0，θ0)，f ′(θ)＜0；当θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫θ0，π2，f ′(θ)＞0，所以f (θ)在(0，θ0)上单调递减，在⎝
⎛⎭⎪⎫θ0，π2上单调递增，
所以当θ＝θ0时，f(θ)取得极小值，即为最小值．
当tanθ0＝
2
2
时，sinθ0＝
1
3
，cosθ0＝
2
3
，所以f(θ)的最小值为36，
即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为36m.因为36＞7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．。