n
M = r F sin θ
1. 力在转动平面内： ω F sin θ
0
力矩的方向判断
右手螺旋前进法则 F F cos θ
·
r
M
F r
·
θ
力矩的量值
M = r F sin θ
力矩量值的一般书写：
力矩的矢量式：
M = r ×F M = r F sin （r、 F）
2. 力不在转动平面内:
F
力矩的矢量式
点支△应设在离A 端35cm处 才能使该装置静止平衡。
二. 转动定律 研究刚体受外力矩作用时，外力矩与角加速度 之间的关系：刚体转动中的牛顿第二定律。
Fi 内力 fi 对△mi 质点进行
外力 受力分析并应用 牛顿第二定律有： 切向分力： 法向分力：
0
´ω
fi ri mi △
·
0
·j
θi
Fi
i
0
f i sinθ i + F i sin j i = △ m i a i t - f i cosθi - F i cosj i = △ m i r iω
2 2 圆盘
o
2
细棒
2
2
2
0
o
·
0.5L
m1
0.5L m2
2
同理：
J ＝J ＋ J
0
杆1
杆2
L 1 m （ ） J ＝ 3 2
杆1
1
L L 1 L ＋m（ ＋ ） J ＝ m（ ） 4 2 2 12
2
2 杆2
2
2
J ＝J ＋ J
0
杆1
杆2
1 m L＋ 7 m L ＝ 12 12
2
1 2
2
转动定律和牛顿第二定律对照
法向分力是沿着矢径方向的 因此对刚体的转动效应无贡献 法向分力：
·
0
·
θi
ji
Fi
0
对切向分力进行数学处理：两边×
ri
ri f i sinθ i + ri F i sin j i = △ m i a i t ri
Σr f i sinθ i + Σr Fi sin j i =Σ △ m i a i t r
★
转动惯量小的刚体获 得的角加速度大,角速度改 变得快 ，保持原有转动状 态的惯性小。
决定转动惯量的三个要素：
（1）刚体的形状（2）质量分布（3）转轴的位置 见教材P95
决定转动惯量的三个要素：
（1）刚体的形状（2）质量分布（3）转轴的位置
0
·
0
ω
质量相同，但质量分布不同 转动惯量J 也不同。 ω
2 2
2
2
2
2
x = r cosj dy = r cosj dj ζ = m πr dS = 2x dy
2
y = r sin j
2
y
ω
dy
0
´
j
r
2
·x
0
y
x
1 dJ = dm( 2x ) = 1 ( ζ 2r cos j dj ) ( 2r cosj ) 12 12 2 = ζ r cos j dj 3 π 2 J = ζ r πcos j dj 3
1 2 3 4
能使它保持静止平衡？
20cm
B
m2
解：这类题目用力矩平
衡的方法就容易多了。
A
m1
m
· △
x
m3
m4
30cm
60cm
2kg 3kg 4kg 5kg
由的力矩定义
设：左端最小球处为A， 右端最大球处为B 并设：整个装置的支点△在 离细棒中心处为x 地方
画出各个小球的重力线：
M = r ×F
可列出下列方程
J = r dm
2
m ζ =π r ζ dm = 2 d r π R m m 2 r d r r d r =2 = π πR R m 2 r m d r r dr = J = R 1 mR 此结果作为经验 m 2 r = = 公式牢记！ 2 R 4
2
R
设单位面积的质量为σ（面密度）
0
2
2
2
R
2
0
ω
·r
0
1 mr J= 4
2
· r
0
1 mr J= 2
2
´
´
转动惯量的计算 例题：如图所示 、求：整个装置 绕A点转动时的转动惯量。
4m
解：根据转动惯量计算的定义
ω
A
· m
L L L
L
J = mr
2m
2
J = r dm
2
本题不必用积分的形式求解 分别在3m和4m到A点 作辅助线得到r＝ 2 L
m x dJ = dm = x L dx m J = dJ = x L d x 1 mL = 3
2
2 L 2 0 2
dm = m dx L
线密度：单位 长度的质量
此结果作为经验 公式牢记！
例题：求质量为m 、半径为R 的均质 圆盘绕oo ´轴旋转的转动惯量。
0
´
ω
r
m dr
解：根据转动惯量计算的定义
i i
i
内力矩相互抵 消内力矩为0
外力矩之和
M
Jα
Σ r f i sinθ i +Σr Fi sin j i = Σ △ m i a i t r
i i
i
内力矩相互抵 消内力矩为0
a = rα M Σ ri f i sinθ i +Σ ri Fi sin j i = Σ △ m i a i t ri = Σ △ m i ri α
M
是矢量
物理单位： 牛顿· 米（N· m）
中学里的概念：力矩 ＝力×力臂 1. 力在转动平面内：
ω F sin θ
0
转动中心到力的作用 线的垂直距离。
M =Fd
F 经验告诉我们只有 切向分力对物体的 转动效应有作用。
·
r
·
θ
F cos θ
力在转动平面内 进行分解为切向 分力和法向分力
其力矩效果
Ft = F sin θ F = F cos θ
3
★当 M ＞0，合力矩的方向沿z 轴正方向。 ★当 M ＜0，合力矩的方向沿z 轴负方向。
当刚体是由n个质点所组成，它们之间内力矩情况是:
当刚体是由n 个质点 所组成，它们之间内 力矩情况是:
z
r3
· r
0
´θ 2 r2 F21
1
与F´ F´ 作为一个系统， 是一对内力，它们大小相等、方向相 反作用在一条直线上。∴ ´ ＝ ´
2
外力矩之和
Jα
M = Jα
Jα
上式就是描述定轴转动的刚体，外力矩和角 加速度之间关系的: 转动定律
Σ
△m i ri 为一个新的物理量
2
转动惯量 J
转动定律的物理意义
M = Jα
刚体在绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受 的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。 三.
转动惯量 J：
Σ △m i r
外力F 在转动平面内进行分 解，切向分力矩 F1 r1 sinθ 对转动效果有贡献。
1
z
r3
θ3
F2
θ2
·r
0
r2
1
同理：外力F .F 也能 进行矢量的分解，它 们的合外力矩为：
2 3
θ1
F3
－F1r1sin θ1
F1
M＝－F r sinθ ＋F r sinθ ＋F r sinθ
1 1
1
2 2
2
3
3
2 2 2
3m
（ 2 L） J = 3m ＋2m （2L） （ 2 L） ＋ 4m = 22mL
2
例题：求质量为m 、长度为 L 的均质细杆绕00 ´ 轴旋转的转动惯量。
0
x
0
dx
L
解：根据转动惯量计算的定义
J = mr
2
´
ω
J = r dm
2
本题必须用积分的形式求解
取长度元dx，进而求出质量元dm。
合外力。使质点 运动状态改变。 质量。质点运动 惯性大小的量度
2
加速度。质 点运动速度 改变快慢的 一个物理量
v d r d a m m F= =m = dt dt
2
2
牛顿第二定律
ω =J d θ M =Ja = J d dt dt
合外力矩。使刚体 转动状态发生改变 转动惯量。刚体 转动惯性大小的 量度。三个要素
i
2
为一个新的物理量
单位 ： Kg.m2
描述刚体在转动中转动惯性大小的量度 当物体几何形状、质量为规则 时，那么其转动惯量可写作： 当质量连续（可导）分布时：
J = mr
2
2 r = J dm
M = Jα
当以相同的力矩分别作用在 两个绕定轴转动的刚体时
★
转动惯量大的刚体获 得的角加速度小,角速度改 变得慢，保持原有转动状态 的惯性大。
ω0
0
ω
R
A
G
a0 F
f
§ 4-2 力矩 转动定律 转动惯量 刚体定轴转动的动力学： 研究刚体获得角加速度的原因和刚 体在转动过程中所遵循的牛顿第二 定律 转动定律。
一.
力矩
要使一个刚体进行绕轴转动，光有外力的 大小还不行，必须注意到外力的作用点的 位置和力的方向，即必须要有外力矩。 力矩物理符号：
20cm
A m1
m2
30cm
m
· △