推论： 设点O、A、B、C是不共面的 四点，则对空间任一点P，都存在 唯一的有序实数组( x，y，z)，使 OP xOA yOB zOC 注：空间任意三个不
共面向量都可以构成 空间的一个基底
A P B P O P
C
如： a, b, c} {
例 : 在正方体OADB CA' D' B'中，点E是AB与 OD的交点，M是OD' 与CE的交点，试分别用 向量OA, OB, OC表示向量OD'和OM .
y y z z a b c x x x x
从而 a, b, c 共面,这与已知 a, b, c 不共面矛盾 因此,有序实数组
( x, y, z )
是唯一的.
基底: 如果三个向量 e1 , e2 , e3 不共面,那么空 间的每一个向量都可由向量 e1 , e2 , e3 线性 表示.把 {e1 , e2 , e3} 称为空间的一个基底 基向量: e1 , e2 , e3 正交基底: 如果空间一个基底的三个向量是两 两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底. 单位正交基底: 当一个正交基底的三个基向量都是 单位向量时,称这个基底为单位正交基底. 通常用 {i, j , k}表示
A B' Q A' D' N C'
D
B
C
已知PA 平面ABCD,四边形ABCD是正方 形，G为PDC重心， i , AD j , AP k , AB 试用基底 i , j , k 表示向量PG、 、 . BG AG


P
G A N D
B B
C
1 1 1 OA OB OC 如图，在平行六面体 ABCD－A B C D 中， ＝a， AB
' ' ' '
AD b， ＝c，p是CA '的中点，M是CD'的中点， ＝ AA' N是C' D'的中点，点Q在CA'上，且CQ：QA'＝4 : 1， 用基底｛ ，c a b， ｝表示以下向量： 1)AP ； 3)AN 2)AM 4） AQ

G
A D N B B C
作业 P82
2，3，4
例：已知空间四边形OABC，对角线
OB、AC，M和N分别是OA、BC的中点， 点G在MN上，且使MG=2GN，试用基 底 {OA, OB, OC} 表示向量 OG
O
M A
G
解：在△OMG中，
C N
1 2 OG OM MG 2 OA 3 MN 1 2 OA (ON OM ) 2 3
自学检测
P76
1
空间向量的基本定理：
如果三个向量 a, b, c 不共面， 那么对空间任一向量 p ，存在一 个唯一的有序实数组(x，y，z)，使 p xa yb zc 思路：作
E
b
O C
p
A
D
AB // b, BD // a, BC // c
p OB BA
B
c OC OD OE
空间任一向量能用三个
不共面的向量来线性表示吗？
学习目标
1、掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任意 一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而 且这种表示是惟一的。 2、在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一向量。
自学指导
1、如何类比平面向量基本定理得到空间向量基本定 理？定理内容是什么？你如何理解？ 2、什么是基底？零向量能不能作为基底？组成基底 的三个向量有何特征？ 3、什么是基向量？基底和基向量有何关系？ 4、什么是正交基底、单位正交基底？
x a yb z c
a
下证唯一性: 假设存在实数组 ( x, y, z) ,且 x x ,使
p xa yb zc
那么
xa yb zc xa yb zc
即 (x x)a ( y y)b ( z z)c 0 因为 x x 所以
平面向量基本定理表明: 平面内任一向量可以用该平面的两个 不共线向量来线性表示
如果 e1 ， 是平面内两个不共线向量， e2 那么对于这一平面内的任一向量 a ， 有且只有一对实数t1，t2，使
a t1 e1 t2 e2
M
e2
a
C 对向量 a 进行分
解：
e1
OC OM ON
O
N
t1 e1 t2 e2
B' C M E A A' D'
B O
D
分层训练
必做题 选做题 P76 2，3
已知PA 平面ABCD,四边形ABCD是正方 形，G为PDC重心， i , AD j , AP k , AB 试用基底 i , j , k 表示向量PG、P 、 . BG AG