摘要汽车刹车距离1.问题提出司机在驾驶过程中遇到突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到车完全停住，汽车行驶的距离称为刹车距离,车速越快，刹车距离越长，请问刹车距离与车速之间具有怎样的数量关系？2.问题分析问题要求建立刹车距离与车速之间的数量关系，一方面车速是刹车距离的主要影响因素，车速越快，刹车距离越长；另一方面，还有很多其他的因素会影响刹车距离，包括车型、车重、刹车系统的机0械状况、轮胎类型的状况、路面类型的状况、天气的状况、驾驶员的操作技术和身体状况等。
若果所有可能的因素都考虑到，就无法建立车速与刹车距离之间的数量关系，所以需要对问题提出合理的简化假设，使得问题可以仅仅考虑车速对刹车距离的影响，从而建立刹车距离与车速之间的函数关系。
需要提出哪几条合理的简化假设？可以假设车型、轮胎类型、路面条件都相同；假设汽车没有超载；假设刹车系统的机械状况、轮胎状况、天气状况以及驾驶员状况都良好；假设汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把刹车踏板踩到底，汽车在刹车过程没有转方向。
这些假设都是为了使得问题可以仅仅考虑车速对刹车距离的影响，这些假设是初步的和粗糙的，在下面的建立数学模型的过程中，还可能随着问题的深入理解而提出新的假设，或者修改原有的假设。
至于假设的合理性，一方面可以根据题意和常识来判断，另一方面，还可以等模型建立和求解完毕以后，对其进行检验分析，首先，仔细分析刹车的过程，发现刹车决定经历两个阶段。
在第一阶段，司机意识到危险，做出刹车决定，并踩下刹车踏板使刹车系统开始起作用，这一瞬间可以称为“反应时间”，非常短暂，但是对于高速行驶的汽车而言，汽车在这一瞬间行驶的距离却不容忽略，汽车在反应时间行驶的距离称为“反应距离”。
在第二阶段，从刹车踏板被踩下、刹车系统开始起作用，到汽车完全停住，这是汽车的制动过程，汽车在制动过程“行驶”（轮胎滑动摩擦地面）的距离为“制动距离”。
根据以上分析，得到刹车距离的初步的数量关系如下：刹车距离=反应距离+制动距离（1.1）引入以下符号，并说明单位：v车速（m/s）；~d刹车距离（m）；~d反应距离（m）；~1~k反应时间（s）；1~d制动距离（m）；2于是用文字表达的数量关系式（1.1）可以用数学符号表示为 21d d d += (1.2)其次，考虑反应距离的子模型，根据常识，可以假设汽车在反应的时间内车速没有改变，也就是说，在此瞬间汽车做匀速直线运动。
反应时间取决于驾驶员状况和汽车制动系统的灵敏性，司机驾驶员的状况包含反应、警觉、视力等，因人而异，可以考虑平均值，即视为常数；在正常情况下，汽车制动系统的灵敏性都非常的好，与驾驶员状况相比，可以忽略，所以再多增加一条简化假设；驾驶员每一次刹车的反应时间都一样长，于是反应距离的子模型为v k d 11= （1.3）再次，考虑制动距离的子模型，在制动过程，汽车的轮胎滑动摩擦地面，车速从v 迅速减慢，直到车速变为0，汽车完全停住，用物理的语言来描述，即汽车制动力使汽车做减速运动，汽车制动力做导致汽车功能的损失，引入以下符号： ~a 汽车制动减速度（m/s 2）； ~F 汽车制动力（N ）； ~M 汽车质量（kg ）；为了建立简单的数学模型，可以假设汽车在制动过程中做匀减速直线运动，减速度为a 是常数，根据牛顿第二定律有 Ma F =根据功能定理，汽车制动力所做的功等于汽车动能的损失，即 2/22Mv Fd =所以)2/(22a v d = 令)2/(12a k =，得到制动的距离的子模型为 222v k d = （1.4） 最后，由（1.2）~（1.4）式，刹车距离的数学模型为 221v k v k d += （1.5）即刹车距离与车速之间的二次函数关系。
到目前为止，所思考的都限于同一款车型，究竟模型（1.5）的两个系数会不会随着车型而改变？回顾以上的建模过程，不难发现，反应距离的子模型的系数1k 是驾驶员的反应时间，与车型无关；而制动距离的子模型的)2/(12a k =只与制动过程的的减速度a 有关系，那么减速度a 与车型有关吗？其实按照汽车的设计原则，所有车型在额定载荷范围内紧急刹车的减速度都相差无几，也就是说，刹车系统的最大制动力被设计成车重成正比，所以系数2k 也可以被认为是车型无关的，换言之，只要对一款车型测试其在不同车速下的刹车距离（当然要尽量保持道路、天气、驾驶员、载重等条件一样），然后用测试数据拟合出模型221v k v k d +=的系数1k 和2k ，那么所得到的刹车距离与车速之间的二次函数经验公式，在相同的道路、天气和驾驶员等条件下，对所有即没有超载，也没有故障的汽车都是有参考作用的。
3.建立模型本小节给出建立汽车刹车距离的数学模型的规范表达。
表2..2.1是为建立刹车距离的数学模型而引入的数学符号说明。
（1） 假设道路、天气和驾驶员等条件相同，汽车没有超载，也没有故障； （2） 假设汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把刹车踏板踩到底，汽车在刹车过程没有转方向；（3） 假设驾驶员的反映时间为常数，汽车在反应时间内做匀速直线运动； （4） 假设汽车在制动的过程做匀减速直线运动，减速度a 为常数，制动力所做的功等于汽车动能的损失；（5） 假设刹车距离等于反应距离加速制距离。
根据假设（3），立即得到（2.2.3）；v k d 11=根据牛顿第二定律假设（4）有ma F =2/22mv Fd =所以有（2.2.4）；22kv d =其中)2/(12a k =最后，根据假设（5）有（2.2.5）v k v k d 21+=（2.2.5）式就是汽车刹车距离的数学模型4.模型检验利用由美国提供的刹车距离数据（见表2.2）来进行模型的检验,，表2.2的数据使用英制单位mph （miles per hour ，英里/小时）和ft （英尺），换算率为1mph=0.44704m/s ，1ft=0.3048m 。
表2.2 反应距离和制动距离的实际观测值车速/mph 反应距离/ft 制动距离/ft 刹车距离/ft 20 范围* 平均值 范围 平均值 22 18~22 20 40~44 42 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 27.5 25~31 28 52.5~58.5 55.5 33 36~45 40.5 69~78 73.5 38.5 47~58 52.5 85.5~96.5 91 44 64~80 72 108~124 116 49.5 82~103 92.5 131.5~152.5 142 55 105~301 118 160~186 173 60.5 132~165 148.5 192.5~225.5 209 66 162~202 182 228~268 248 71.5 196~245 220.5 267.5~316.5 292 77 237~295 266 314~372 343 82.5 283~353 318 365.5~435.5 400.5 88 334~418 376 422~506 464 *范围包括了美国公路局所测试中85%的观测结果在表2.2的数据中，反应距离是和车速成正比的，很明显，这样的数据是基于反应距离子模型v k d 11=的，其中平均反应时间恰好为75.01=k 秒，所以没有必要用表2.2中反应距离的数据赖来检验反应距离子模型。
而表2.2的制动距离数据则有变化范围（包括美国公路的局所做测试中85%的观测结果）以及平均值，由于刹车距离是反应距离和制动距离之和，所以刹车距离也有变化范围和平均值，应该用表2.2中的制动距离数据来检测制动距离子模型222v k d =，从而达到检验刹车距离的数学模型的目的。
首先，注意到子模型222v k d =意味着2d 与v 成二次函数关系，而2d 与2v 成正比关系。
因此，绘制表2.2中的制动距离数据（包括最小值、平均值和最大值）对v 和2v 的散点图（见图2.2），程序如下：>> v=(20:5:80).*0.44704; >> v2=v.*v;>> d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,33422,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,41820,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376 ];>> d2=0.3048.*d2;>> subplot(2,2,1),plot([v;v;v],d2,'o-k','MarkerSize',2)title('检验二次函数关系'),xlabel('车速v （m/s ）')ylabel('制动距离的最小值、平均值和最大值（m ）') subplot(2,1,2),plot([v2;v2;v2],d2,'o-k','MarkerSize',2)title('检验正比例关系'),xlabel('车速的平方v^（m^2/s^2）')510152025303540检验二次函数关系车速v （m/s ）制动距离的最小值、平均值和最大值（m ）0200400600800100012001400检验正比例关系车速的平方v （m 2/s 2）图 2.2说明 绘图命令利用了MATLAB 函数plot 的语法格式 ，即如果X 和Y 是同型矩阵（不止一行），则plot(X,Y)返回Y 的列向量对应X 的列向量的多重线性图，另外，通过将MarkerSize 设置为2，使得标示符的大小更符合需要。
有图（2.2）得到的直观印象是：制动距离子模型222v k d =经得起来自表2.2的数据检验。
直观的图形检验显然粗糙了一些，不够可靠，下面用最小二乘法，根据表2.2中的车速和制动距离平均值的数据，拟合出制动距离子模型222v k d =中的系数2k ，然后详细考察误差，由（1.7.1）式，拟合2k 的计算公式为∑∑===131413122/i i i i i v d v k (2.2.6)其中i v 和i d 为表2.2中的第i 行的车速和制动距离平均值，i=1，2，3，…，13，根据（2.2.6）式，在执行图2.2的绘图程序后，继续输入并执行一下命令： >> k2=sum(v2.*d2(3,:))./sum(v2.*v2) >> r=d2(3,:)-k2.*v.*v命令窗口显示的计算结果为： k2 =0.0827 r =Columns 1 through 8-0.5131 -1.7923 -2.5261 -4.2384 -4.4909 -5.2647 -5.3406 -4.7187Columns 9 through 13-4.0085 -2.6004 0.1151 3.9857 8.8589所以依据表2.2的数据得到的刹车距离与车速关系的经验公式为2082678.075.0v v d +=考察误差，发现当车速不超过65mph （即104.6km/h ）时实际值都略小于理论值，但是当车速更快时，实际值就会大于理论值，而且随着车速的增加，误差会越来越大，这就说明制动距离子模型222v k d =的模型假设适合较低的车速范围内；当车速更高时，可能由于漏了某些不容忽略的因素，导致模型解答不那么令人信服。