1. 一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率0.4%， 他每月取1000元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？分析：(1) 假设k 个月后尚有k A 元，每月取款b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款，根据题意，建立如下的差分方程：1k k A aA b +=-，其中a = 1 + r (1)每岁末尚有多少钱,即用差分方程给出k A 的值。

(2) 多少岁时将基金用完，何时0k A =由（1）可得：01kkk a A A a br-=-若0n A =，01nnA rab a =-(3) 若想用到 80 岁，即 n ＝(80-60)*12=240 时，2400A =，24002401A ra b a=-利用 MA TLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear all close allclcx0=100000;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0:n)';y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1'])function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0;for k=1:nx(k+1)=a*x(k)-b; end(2)用MA TLAB 计算：A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240思考与深入：(2) 结论：128个月即70岁8个月时将基金用完(3) A0 = 1.5409e+005结论：若想用到80岁，60岁时应存入15.409万元。

2. 某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10万元，月利率0.5%，他每月还1000元。

建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要10年还清，每月需还多少？分析：记第k个月末他欠银行的钱为x（k），月利率为r，且a=1+r，b为每月还的钱。

则第k+1个月末欠银行的钱为x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2…在r=0.005 及x0=100000 代入，用MA TLAB 计算得结果。

编写M 文件如下:function x=exf11(x0,n,r,b)a=1+r;x=x0;for k=1:nx(k+1)=a*x(k)+b;endMA TLAB计算并作图:k=(1:140)';y=exf11(100000,140,0.0005,-1000);所以如果每月还1000元，则需要11年7个月还清。

如果要10年即n=120 还清，则模型为：r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n]用MA TLAB 计算如下：>> x0=100000;>> r=0.005;>> n=120;>> b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n]b= 1.1102e+003所以如果要10年还清，则每年返还1110.2元。

3. 在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为1r，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为1a；猫头鹰的年平均减少率为2r ；田鼠的存在引起的猫头鹰减少率的增加与田鼠的数量成正比，比例系数为2a 。

建立差分方程模型描述田鼠和猫头鹰共处时的数量变化规律，对以下情况作图给出50年的变化过程。

(1) 设12120.2,0.3,0.001,0.002,r r a a ====开始时有100只田鼠和50只猫头鹰。

（2）1212,,,r r a a 同上，开始时有100只田鼠和200只猫头鹰。

（3）适当改变参数12,a a （初始值同上） （4）求差分方程的平衡点，它们稳定吗？分析：记第k 代田鼠数量为k x ，第k 代猫头鹰数量为k y ，则可列出下列方程：111122()()k k k k k k k k x x r a y x y y r a x y ++=+-⎧⎨=+-+⎩运用matlab 计算，程序如下：function z=disanti(x0,y0,a1,a2,r1,r2) x=x0;y=y0; for k=1:49x(k+1)=x(k)+(r1-y(k)*a1)*x(k); y(k+1)=y(k)+(-r2+x(k)*a2)*y(k); endz=[x',y'];(1)z=disanti(100,50,0.001,0.002,0.2,0.3) plot(1:50,z(:,1)); hold on;plot(1:50,z(:,2),'r')(2)z=disanti(100,200,0.001,0.002,0.2,0.3) plot(1:50,z(:,1)); hold on;plot(1:50,z(:,2),'r')(3)当a1,a2分别取0.002,0.002时，得到如下图像：05101520253035404550可见，当a1,a2参数在一定范围内改变时，猫头鹰与田鼠数量在一定范围内震荡，且不灭绝。

(4)令1k k x x x +==；1k k y y y +== 解方程得到如下结果： x=150y=200经matlab 验证如下：z=disanti(150,200,0.001,0.002,0.2,0.3) plot(1:50,z(:,1)); hold on;plot(1:50,z(:,2),'r')由此可知：平衡点为：x=150 y=2004. 研究将鹿群放入草场后草和鹿两种群的相互作用。

草的生长遵从Logistic 规律，年固有增长率0.8，最大密度为3000（密度单位），在草最茂盛时每只鹿每年可吃掉1.6（密度单位）的草。

若没有草，鹿群的年死亡率高达0.9，而草的存在可使鹿的死亡得以补偿，在草最茂盛时补偿率为1.5。

作一些简化假设，用差分方程模型描述草和鹿两种群数量的变化过程，就以下情况进行讨论：（1）比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的草场两种情况。

（2）适当改变参数，观察变化趋势。

模型假设：1．草独立生存，独立生存规律遵从Logistic 规律； 2．草场上除了鹿以外，没有其他以草为食的生物；3．鹿无法独立生存。

没有草的情况下，鹿的年死亡率一定； 4．假定草对鹿的补偿率是草场密度的线性函数；5．每只鹿每年的食草能力是草场密度的线性函数。

记草的固有增长率为r ，草的最大密度为N ，鹿独立生存时的年死亡率为d ，草最茂盛时鹿的食草能力为a ，草对鹿的年补偿作用为b ；第k ＋1年草的密度为 1k x +，鹿的数量为1k y +，第k 年草的密度为k x ，鹿的数量为k y 。

草独立生存时，按照Logistic 规律增长，则此时草的增长差分模型为1(1)k k k k x x x r x N+-=-，但是由于鹿对草的捕食作用，草的数量会减少，则满足如下方程：1(1), (0,1,2,)k k kk k k x ax y x x r x k N N+-=--= （1）鹿离开草无法独立生存，因此鹿独立生存时的模型为1k k k y y dy +-=-，但是草的存在会使得鹿的死亡率得到补偿，则满足如下差分方程：1(), (0,1,2,)k k k k bx y y d y k N+-=-+= （2）另外，记初始状态鹿的数量为0y ，草场密度初值为0x ，各个参数值为：，，，，利用MATLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下：%定义函数diwuti ，实现diwuti-Logistic 综合模型的计算，计算结果返回种群量 function B =disiti(x0,y0,r,N,b,a,d,n) % 描述diwuti-Logistic 综合模型的函数 x(1) = x0; % 草场密度赋初值 y(1) = y0; % 鹿群数量赋初值 for k = 1 : n;x(k+1) = x(k) + r*(1-x(k)/N)*x(k) - a*x(k)*y(k)/N; y(k+1) = y(k) + (-d + b*x(k)/N)*y(k); endB = [x;y];%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear allC1 =disiti (1000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50); C2 = disiti(3000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50); k = 0 : 50;plot(k,C1(1,:),'b',k,C1(2,:),'b',k,C2(1,:),'r',k,C2(2,:),'r') axis([0 50 0 3000]);xlabel('时间/年')ylabel('种群量/草场：单位密度，鹿：头') title('图1.草和鹿两种群数量变化对比曲线') gtext('x0=1000') gtext('x0=3000') gtext('草场密度') gtext('鹿群数量')比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的草场两种情况（绘制曲如图1所示）：由图中可以看到，蓝色曲线代表草场密度的初始值为1000时，两种群变化情况；而红色曲线则代表草场密度的初始值为3000时，两种群的变化情况。

观察两种情况下曲线的演变情况，可以发现大约40-50年左右时间后，两种群的数量将达到稳定。

使用MatLab 计算可以得到，当(,)(1800,600)k k k y y →∞=，即两种群数量的平衡点为（1800，600）。

为进一步验证此结论，下面通过改变相关参数，研究两种群变化情况，找到影响平衡点的因素：（1）改变草场密度初始值；从图2中可以看到，改变草场的初始密度不会对两种群数量的平衡点造成影响。

（2）改变鹿的数量初值由图2可以看到，鹿初始的数量的改变在理论上也不会改变最终种群数量的平衡值。

但是，我们可以看到，y0=2000的那条曲线（紫色曲线），在5－15区间内降低到了非常小的值，这显然是不符合鹿的现实繁殖规律的，因为鹿的种群可持续繁殖的最小数量是存在域值的。

当种群数量低于这个值时，在实际情况下，鹿的种群就要灭绝。

同样道理，草场的密度也存在一个最小量的域值，低于这个阈值，草也将灭绝。