dx A
tmax
A
最后得到：
tr r
tr
Gr
d
dx

Tr
Ir
--(4)
tor T
I只r 称与为截截面面几对何圆相心关的。极惯性矩，tmtaxm在ax 圆 T轴r /表I r面 处T /，WT且
求Ir，WT ?
WT =Ir /r，称为 抗扭截面模量。
19
8.3.2 圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
dx
对半径为r 的其它
各处，作类似的分析。 同样有：
CC= g dx = r df
即得变形几何条件为：
g rd / dx --(1)
剪应变 g 的大小与
半径r 成正比。与单位 扭转角df /dx成正比。
15
2. 物理关系— 材料的应力-应变关系
材料的剪应力t与剪应变g之间有与拉压类似的关系。
T/GIr=const , 故有： AB T L / GIr
GI r 称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。
若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。 27
例2. 空心圆轴如图，已知MA=150N·m，MB=50N·m MC=100N·m，材料G=80Gpa， 试求（1）轴内的最大剪应力； （2）C截面相对A截面的扭转角。
解: 1) 画扭矩图。
MA f18 MB
MC
f2 4 f2 2
2) 计算各段应力:
AB段： N-mm-Mpa单位制
A 1000 B
t max 1
T1 WT 1

T1
pD13 [1 - (
d
)4 ]
16
D1

150103 16
243p
[1
-
(18
/
24)4

]
80.8MPa
T /N.m
150 A
在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：
t Gg --(2)
t
t ys
G是t-g曲线的斜率，如图，
称为剪切弹性模量。
半径为r处的剪应力则为：
tr
Gg r
Gr
d
dx
GG
11
O
g
圆轴扭转时 无正应力
16
讨论：圆轴扭转时横截面上的剪应力分布
t max
tr
T
r
rr
A
gr
o
tr
C
df
C
O
B gr
DT
平衡
4
返回主目录
M0
M0
T
取左边部分
M0 假想切面
外力偶
扭矩
由平衡方程：
平衡
M0
T M0 T
取右边部分 T
T 和T 是同一截面上的内力， 应当有相同的大小和正负。
扭矩
外力偶
平衡
5
扭矩的符号规定：
按右手螺旋
M0
T
法则确定扭矩的
正
矢量方向，扭矩 矢量的指向与截
面的外法线方向
M0
T
一致者为正，反 之为负。
M A 5.46kN m M B M C 1.64kN m M D 2.18kN m
求各截面内力：
BC段 T1 -1.64kN m
CA段 T2 -3.28kN m
AD段 T3 2.18kN m
最大扭矩在AB段，且
T 3.28kN m
10
MB MC
B
CD
o
x
A BC D
+ 向 按右手法确定
求反力偶： M A 20kN m + 向 按右手法确定
T / kNm
20 10
T图
T / kNm
20
T图
A
B
C
D
20
A
B
C
D
10
20
12
返回主目录
8.3 圆轴扭转时的应力与变形
变形体静力学的基本研究思路：
静力平衡条件 + 变形几何条件 + 材料物理关系
极惯性矩: Ir r 2dA
dA
dr
A
抗扭截面模量 WT =Ir /r
r
o
讨论内径d，外径D的空心圆
截面，取微面积
d
dA=2prdr, 则有：
D
极惯 性矩
a=d/D
I r

2p
D/2
r 3dr
d/2

p
(D4 32
d
4)

pD 4
32
(1 - a
4)
抗扭截面模量： WT Ir /( D / 2) pD 3(1-a 4 ) / 16
c
t′
dx
A的平衡？
SMC(F)=tdxdy-tdydx=0 t =t
25
8.3.3 扭转圆轴任一点的应力状态
纯剪应力状态: 微元各面只有剪应力作用。
s
A
s
t′
t A t dy
c dx t′
45斜截面上的应力：
s45
纯剪应力
t
c
45 t45
t
dx
状态等价于转 过45后微元的 二向等值拉压
26
8.3.4 圆轴的扭转变形 单位扭转角为：
d / dx T / GI r
相对扭转角 ：B截面相对于 AB
A截面的扭转角。若AB=L，则
T
A Ag Bg
g
C
ABr
B
d
DLCd
O
T
AB
d DL T dx
dx 0 GIr
若AB间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则
tr=Tr/Ir
截面外圆周处（表面）
tmax=T/WT
实 心
tmax tr
圆
oT
轴
D
tmax
空
T
tr
心
圆
o
轴
d
D
23
讨论：
1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否? 相同 若二轴材料不同、截面尺寸相同，各段应力是否
相同？相同 变形是否相同？ 不同
2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?
7
简捷画法：
T 图 10kN m 10kN m
FN图（轴力）
2kN 8kN
5kN
o
x
A
C B 20kN m
5kN 2kN 8kN
5kN
+ 向 按右手法确定
+向
T / kNm
20
5kN
3kN
10
+
FN 图
- 5kN
A
B
C
在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增或减；至右端回到零。
4
]

86.7MPa
A
B
C
故 tmax=86.7Mpa
3) 计算扭转角AC
AC
TAB l AB + T BC lBC
GIr AB
GIr BC
0 .183 rad
29
8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件
1.强度条件 拉压 扭转强度条件
sys/n (延)
tys/n (延)
smax=[s]=
T
o
o
o
o
T
T
T
24
8.3.3 扭转圆轴任一点的应力状态
研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左 右二边为横截面，上下二边为过轴线的径向面。
剪应力互等定理：
物体内任一点处 二相互垂直的截面上 ，剪应力总是同时存 在的，它们大小相等 ，方向是共同指向或 背离二截面的交线。
T
T
At
t dx
t′
t A t dy
的不同平面内的外力偶 ，且满足平衡方程:
SMx=0
y
M0
z
变形前
传f动A轴B x
M0 汽车转变形向后轴
变形特征：相对扭转角 fAB
圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。
3
返回主目录
8.2 扭矩与扭矩图
扭矩：T是横截面上的内力偶矩。 内力—由截面法求得。
M0
M0
假想切面
取左边部分
M0
外力偶
T 内力偶
由平衡方程： T M 0
T
r
A
C
g
df
C O
Bg
D df r
D
dx
g 是微元的直角改变量，
即半径r各处的剪应变。因
为CC= gdx=rdf , 故有：
g rd / dx
df /dx ,称为单位扭转角。
对半径为 r 的其. 变形几何条件
T
A gr B gr
rr
C
df
C O D
D
3322
(1(1--aa4
)4
)
a=d/D=0
Ir
p D4
32
WT
p D3 ( 1- a 4)
16
WT
pD3
16
t max Tr / I r T /WT
21
结论：
1）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横 截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转 向确定。
2） 截面任一处
第八章 圆轴的扭转
8.1 扭转的概念与实例 8.2 扭矩、扭矩图 8.3 圆轴扭转时的应力与变形 8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件 8.5 静不定问题和弹塑性问题