集合的含义及其表示一、集合1.集合某些指定的对象集在一起成为集合。
(1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作Aa∈;若b不是集合A的元素,记作Ab∉;(2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性;确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立;互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素;无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关;(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。
具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。
(4)常用数集及其记法非负整数集(或自然数集),记作N;;正整数集,记作N*或N+整数集,记作Z;有理数集,记作Q;实数集,记作R 。
2.集合的包含关系(1)集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,则称A 是B 的子集(或B 包含A ),记作A ⊆B (或B A ⊂);集合相等:构成两个集合的元素完全一样。
若A ⊆B 且B ⊇A ,则称A 等于B ,记作A =B ;若A ⊆B 且A ≠B ,则称A 是B 的真子集,记作AB ;(2)简单性质:1)A ⊆A ;2)Φ⊆A ;(3)若A ⊆B ,B ⊆C ,则A ⊆C ; (4)若集合A 是n 个元素的集合,则集合A 有2n 个子集(其中2n -1个真子集);3.全集与补集(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U ;(2)若S 是一个集合,A ⊆S ,则,S C =}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集;(3)简单性质:1)S C (S C )=A ;2)S C S =Φ,ΦS C =S 。
4.交集与并集(1)一般地,由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合,叫做集合A 与B 的交集。
交集}|{B x A x x B A ∈∈=⋂且。
(2)一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,称为集合A 与B 的并集。
}|{B x A x x B A ∈∈=⋃或并集。
注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。
5.集合的简单性质(1);,,A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂(2);,A B B A A A ⋃=⋃=Φ⋃(3));()(B A B A ⋃⊆⋂(4)B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;;(5)S C (A ∩B )=(S C A )∪(S C B ),S C (A ∪B )=(S C A )∩(S C B )。
二、函数1.函数的概念设A 、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作:y =f (x ),x ∈A 。
其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域。
注意:(1)“y =f (x )”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y =g (x )”;(2)函数符号“y =f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值,一个数,而不是f 乘x 。
2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式:①自然型:指函数的解析式有意义的自变量x 的取值范围(如:分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等); ②限制型:指命题的条件或人为对自变量x 的限制,这是函数学习中重点,往往也是难点,因为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误;③实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x 的实际意义。
(2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。
①配方法(将函数转化为二次函数);②判别式法(将函数转化为二次方程);③不等式法(运用不等式的各种性质);④函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图像等)。
3.两个函数的相等函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则f。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定。
因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数。
4.区间(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示。
5.映射的概念一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f:A→B”。
函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种的对应就叫映射。
注意:(1)这两个集合有先后顺序,A到B的射与B到A的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则,可以用汉字叙述。
(2)“都有唯一”什么意思?包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思。
6.常用的函数表示法(1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式;(2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系;(3)图像法:就是用函数图像表示两个变量之间的关系。
7.分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的解析式不同,这种函数又称分段函数;8.复合函数若y=f(u),u=g(x),x∈(a,b),u∈(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数,u 称为中间变量,它的取值范围是g(x)的值域。
三、函数性质1.奇偶性(1)定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数。
注意:函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。
(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;②确定f(-x)与f(x)的关系;③作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数。
(3)简单性质:①图像的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于y轴对称;②设()f x ,()g x 的定义域分别是12,D D ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇⨯奇=偶,偶+偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇2.单调性(1)定义:一般地,设函数y =f (x )的定义域为I , 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2)(f (x 1)>f (x 2)),那么就说f (x )在区间D 上是增函数(减函数);注意:① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2;当x 1<x 2时,总有f (x 1)<f (x 2)(2)如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
(3)设复合函数y = f [g (x )],其中u =g (x ) , A 是y = f [g (x )]定义域的某个区间,B 是映射g : x →u =g (x ) 的象集:①若u =g (x ) 在 A 上是增(或减)函数,y = f (u )在B 上也是增(或减)函数,则函数y = f [g (x )]在A 上是增函数;②若u =g (x )在A 上是增(或减)函数,而y = f (u )在B 上是减(或增)函数,则函数y = f [g (x )]在A 上是减函数。
(4)判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤:①任取x 1,x 2∈D ,且x 1<x 2;② 作差f (x 1)-f (x 2);③ 变形(通常是因式分解和配方);④ 定号(即判断差f (x 1)-f (x 2)的正负);⑤下结论(即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性)。
(5)简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同;②偶函数在其对称区间上的单调性相反;③在公共定义域内:增函数+)(xf增函数)(xg是增函数;减函数+)(xf减函数)(xg是减函数;增函数-)(xf减函数)(xg是增函数;减函数-)(xf增函数)(xg是减函数。
3.最值(1)定义最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x) = M。
那么,称M是函数y=f(x)的最大值。
最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x) = M。
那么,称M是函数y=f(x)的最大值。
注意:①函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x0∈I,使得f(x) = M;②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M)。