其中C是圆周: z z0 r ( r 0) 的正向.
C C
10
定 理 2 设光滑曲线C由参数方程给出： C : z z ( t ) x( t ) iy( t ) ( t ),
z ( ) 是起点, z ( ) 是终点，f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )
在包含C的区域D内连续，则

C
f ( z )dz
k 1
C
C
n
C
f ( z )dz udx vdy i vdx udy .
u,v9连续
取极限
积分公式从形式上可以看成
C f ( z )dz C (u iv )(dx idy ) udx ivdx iudy vdy C
udx vdy i vdx udy .
当C是实轴上的区间 a , b , 方向从a到b, 并且
f ( z )为实值函数，那么这个积分就是定积分.
7
C
f ( z )dz
2 积分存在的条件及计算方法
定 理 1 设C是光滑(或可求长)的有向曲线， 如果 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在包含C的 区域D内连续，则 并且
第三章 复变函数的积分
§2.1 复变函数积分的概念 §2.2 Cauchy-Goursat基本定理 §2.3 基本定理的推广-复合闭路定理 §2.4 原函数与不定积分 §2.5 柯西积分公式 §2.6 解析函数的高阶导数 §2.7 解析函数与调和函数的关系
1
§3.1
1 2
复变函数积分的概念
积分的定义 积分存在条件及计算方法

C
f ( z )dz 存在，
C f ( z )dz C udx vdy iC vdx udy
8
证 设 ζ ξ iη k k k 明
，则
zk zk zk 1 ( xk iyk ) ( xk 1 iyk 1 ) ( x k x k 1 ) i ( y k y k 1 ) x k i y k
β
11
证明
C f ( z )dz C udx vdy i



C
vdx udy .
u[ x(t ), y(t )]x(t ) v[ x(t ), y(t )] y(t )dt
u[ x( t ), y( t )] iv[ x( t ), y( t )] x(t ) iy(t ) dt
β α
12
i v[ x( t ), y( t )] x( t ) u[ x( t ), y( t )] y(t )dt .


f z ( t ) z( t )dt
如果C是由C1, C2, …, Cn年等光滑曲线段依 次相互连接所组成的按段光滑曲线，那么定义

C
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
C1 C2
f ( z )dz
Cn
如无特别说明，今后我们讨论的积分总是 假定被积函数是连续的，曲线是按段光滑的。
13
例1 计算
zdz ,其中C为从原点到点3+4i的直线段. y
C
3 4i
C
o
x
14
dz 例 2 计算积分 n1 (n是整数), ( z z0 ) C
n
f (
k 1
n
k
) z k u( k ,k ) iv( k ,k ) ( x k i y k )
[u( k ,k )xk v ( k , k )yk ]
k 1 n
定义
k 1
u,v连续 取极限
i [v ( k , k )xk u( k , k )yk ]
k 1
其中， zk zk zk 1
k 1,2,
, n .
y
记sk为弧zk 1 zk的长度
令 maxsk .
1 k n
z0
1 2
k z k
zk 1
C z zn n 1
Z
z1 z2
o
x
6
如果分点的个数无限增多，并且极限
lim S n lim f ( k )zk
3
积分的性质
2
1 积分的定义
曲线的方向 设C为平面上给定的一条光滑（或按段光滑） 曲线，如果选定C的两个可能方向中的一个作为 正方向（或正向），那么就把C理解为带有方向 的曲线，称为有向曲线。 B 设曲线C的两个端点为A与B，
若把从A到B的方向作为C的正向 那么B到A的方向就是C的负向， 记作Cˉ
y
zk ,
, zn1 , zn B,
A z z1 z2
0
C z znD n 1
zk 1 zk
B
把曲线C分割为n个小段.
o
x
5
在每个小弧段 zk 1 zk k 1,2, 一点 k ( k 1,2,
n
, n 上任取
, n), 做和数
S n f ( k )zk ,
u[ x( t ), y( t )] x( t ) v[ x( t ), y(t )] y(t ) dt
v[ x( t ), y( t )] x( t ) u[ x( t ), y( t )] y( t )dt .


i
α
f z ( t ) z( t )dt
0 0
k 1 n
存在, 则称该极限值为函数 f ( z ) 沿曲线C的积分, 并记作 C f ( z )dz , 即
f ( z )dz lim f ( k )zk lim f ( k )zk .
0
k 1 n k 1 n n

C
如果C是闭曲线，经常记作
A
3
简单闭曲线的方向
简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点P顺此方向 沿该曲线前进时，邻近P点的曲线内部始终位于P 点的左方。与之相反的方向就是曲线的负方向。
4
定义 设 f ( z ) 是定义在区域D内的复变函数. C是区域D内以A为起点, B为终点的一条光滑的 有向曲线， 在C上依次取分点A z0 , z1 , , Nhomakorabeazk 1 ,