温故而知新
~ 13 ~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
（全等型—任意角 ）
A
D
C
O
EB
条件：① AOB 2 , DCE 180 2 ② CD CE
结论：① OC 平分 AOB ； ② OD OE 2OC cos
③ SODCE SOCD SOCE OC2 sin cos 难度较大，记得经常复习
~ 12 ~
锲而不舍
经典模型系列手册
当∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图
C A
O D
E
F
B
以上三个结论：（辅助线之二）
①____________________
②_______________________（重点）
③________________________（难点）
请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握
E
C
B
CB
条件：①平行四边形； ABCD ② BC 2AB ；
③ AM DM ；④ CE AD
结论： EMD 3MEA
辅助线:有平行 AB∥CD ，有中点 AM DM 延长 EM ，构造 AME≌DMF ，连接 CM 构
造等腰 EMC , MCF
通过构造 8 字全等线段数量及位置关系，角的大
③
SODCE
SOCD
SOCE
1 OC2 2
辅助线之二：过点 C 作 CF OC 证明 ODC≌FEC
温故而知新
~7~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
当∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图
A MC
N O
D
EB
以上三个结论：（辅助线之一）
① CD CE 不变
② OE OD 2OC （重点）
（难点）
请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握
温故而知新
~9~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
A
D
C
O
EB
细节变化：若将条件“ OC 平分 AOB ”与结
论“ CD CE ”互换
条件：① AOB DCE 90
② CD CE
结论：① OC 平分 AOB ；
② OD OE 2OC
③
SODCE
SOCD
SOCE
1 OC2 2
滴水穿石
~ 10 ~
锲而不舍
经典模型系列手册
（全等型—120°）
A
C
D
OE
B
条件：① AOB 2DCE 120
② OC 平分 AOB
结论：① CD CE ；② OD OE OC
③ SODCE SOCD SOCE
3 OC2 4
请模仿（全等形—90°）辅助线之一完成证明
结论：① AE DE ；② AED 2ABO
辅助线：延长 DE 至 M ，使 ME DE ，将结 论的两个条件转化为证明 AMD∽ABO ，此
为难点，将 AMD∽ ABO继续转化为证明
ABM∽ AOD,使用两边成比且夹角等
此处难点在证明 ABM AOD
温故而知新
~ 29 ~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
最短路程模型之一（将军饮马类）
A
A'
l1
PA+PB
B
PA
B
P
l
Q
l2 B'
B'
PA+PQ+BQ
A A'
A
B
A'
P
l1
PQ
l
Q
l2
AP+PQ+QB B' AP+PQ+QB
\
B
总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，
最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决
特点：①动点在直线上；②起点，终点固定
滴水穿石
A
D
C
O
EB
CDE CED COA COB 相 等 是 如
何推导
温故而知新
~ 19 ~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
角含半角模型(90°)
A
DA
D
F
F
B E C GBE C
条件：①正方形 ABCD ；② EAF 45 结论：① EF DF BE ② CEF 周长为正方形 ABCD 周长一半 也可以这样： 条件：①正方形 ABCD ；② EF DF BE 结论：① EAF 45 口诀：角含半角要旋转
且延长 AC 交 BD 与点 E
必有 BEC BOA
非常重要的结论，必须会熟练证明
滴水穿石
~4~
锲而不舍
经典模型系列手册
手拉手相似（特殊情况）
O
C
D
A
B
A
当 AOB 90 时，
D O
C E
B
除 OCD∽OAB OAC∽OBD 之外
还会隐藏 BD OD OB tan OCD AC OC OA
满足 BD AC ,若连结 AD 、 BC ,则必有 AD2 BC2 AB2 CD2
S ABCD
1 2
AC
BD
（对角线互相垂直四边形）
温故而知新
~5~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
模型三：对角互补模型 （全等型—90°）
A
AM
D
CD
C
N
O
E BO
EB
条件：① AOB DCE 90
~ 30 ~
锲而不舍
经典模型系列手册
最短路程模型之二（点到直线类）
A
A
H Q'
PC
P
垂线段最短
OQMB
条件：如右图① OC 平分 AOB
② M 为 OB 上一定点
③ P 为 OC 上动点
④ Q 为 OB 上动点
求： MP PQ 最小时， P 、 Q 的位置
辅助线：将作 Q 关于 OC 对称点 Q ' ，转化
经典模型系列手册
模型一：手拉手模型—全等 等边三角形
O A
D
C E BA
O D
E C
B
条件： OAB , OCD 均为等边三角形 结论：① OAC≌OBD ;② AEB 60
③ OE 平分 AED （易忘）
O A
O E BA
D
C E B
温故而知新
~1~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
等腰 RT
倍长中线类模型
A
D
F
A
D
F
B
CE
HB
E
H
条件：①矩形 ABCD ；② BD BE
③ DF EF
结论： AF CF
模型提取：
①有平行线 AD∥BE ②平行线间线段有中点 DF EF 可以构造 8 字全等 ADF≌HEF
滴水穿石
~ 24 ~
锲而不舍
经典模型系列手册
倍长中线类模型
A
M
DA
M
F
D
E
滴水穿石
~ 20 ~
锲而不舍
经典模型系列手册
角含半角模型(90°)
A
D
C EB
F
条件：①正方形 ABCD ；② EAF 45
结论：① EF DF BE
辅助线：
A
D
A
D
C EB
F
EB
C
F
温故而知新
~ 21 ~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
角含半角模型(90°)
A
A
F
BD E C BD E C
小转化
温故而知新
~ 25 ~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
相似三角形 360 度旋转模型（倍长中线法）
C DF
C
G DF
A
BA
B
E
E
条件：① ADE 、 ABC 均为等腰直角
② EF CF
结论：① DF BF ；② DF BF
辅助线：延长 DF 到点 G ，使 FG DF ，连
接 CG 、 BG 、 BD 证明 BDG 为等腰直角
突破点： ABD≌CBG
难点：证明 BAD BCG
滴水穿石
~ 26 ~
锲而不舍
经典模型系列手册
相似三角形 360 度旋转模型（补全法）
C
C
G
DF
DF
A
BA
E
B E
H
条件：① ADE 、 ABC 均为等腰直角 ② EF CF
结论：① DF BF ；② DF BF 辅助线：构造等腰直角 AEG 、 AHC 辅助线思路：将 DF 与 BF 转化到 CG 与 EH
滴水穿石
~ 14 ~
锲而不舍
经典模型系列手册
当∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图
A C
O
B
E
D
以上三个结论：（辅助线之二）
①____________________
②_______________________（重点）
③________________________（难点）
请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握
∴ EF CE CF tan （关键步） DO CD CO
温故而知新
~ 17 ~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
∴结论①得证 ∴ EF OD tan
∵ (OE EF) cos OC
∴结论②得证