讲复杂抽屉原理
五年级 第五课
本讲主线
1、复习基本的抽屉原理 2、关于抽屉原理的讨论
1.抽屉原理: ⑴ 10个苹果放到9个抽屉中，一定有一个抽屉至 少有2个苹果. ⑵ 100个苹果放到9个抽屉中，一定有一个抽屉 中至少有12个苹果.
例题【一】（★ ★ ）
将能否在4×4的方格表的每一个格子中填入1、2、3中的一个数 字，使得每行、每列以及它的两条对角线上数字的和互不相同？
（1）在边长为1的正方形里随意放入入9个点，
这9个点任意3个点不共线，
请说明：这9个点中一定有3个点构成的三角形面积不超过正方形的1 . 8
（1）连接正方形的三个顶点：1×1÷2=0.5 （2）将正方形分成4个相同区域
9÷4=2…1 必定有一个区域有3个点， 其构成三角形面积最大为：1 ×1=1
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3、同余定理
a、b两数对于c同余，那么a－b的差值一定可以 被c整除
例题【四】（★ ★ ★ ★ ）
求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数
a、b、c、d、e、f，使得(a－b)(c－d)(e－f )是105的倍数.
因为，105=3×5×7 7的余数：余1、余2、……余6余0
共有7种
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数字和有： 1+1+1+1=4 2+2+2+2=8 3+3+3+3=12 1+2+2+2=7 1+1+1+2=5
1+3+3+3=10 1+1+1+3=6 2+2+2+3=9 2+3+3+3=11 数字和有9种，位置有10个， 所以，一定有两个位置数字 和出现重复。
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2、最不利原则：
（1）保证发生的最少情况 （2）保证=最倒霉+1
∴8个数中必有2个同余的数，其差是7的倍数；
5的余数：余1、余2、余3、余4余0 共有5种 ∴剩下的6个数中，必有2个数同余，其差是5的倍数
而，3个余数：余1、余2、余0 有3种
∴剩下的4个数中，必有2个数同余，其差是3的倍数。 ∴一定有六个数它们差的乘积是105的倍数
例题【五】（★ ★ ★ ★）
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1.抽屉原理： ⑴ 有余＋1，无余取整 ⑵ 找苹果、找抽屉 2.最不利原则： ⑴ 保证发生，最少 ⑵ 个数＝最倒霉＋1
难点：以某些东西的种类作为抽屉
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前言
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⑷ 一副扑克牌有54张，包括2张王牌，四个花色，各有13张.至少取 （42）张，保证有4张不同花色.
2+13+13+13+1 =42
例题【二】（★ ★ ★）
从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保 证其中一定包括两个数，它们的差是12.
差是12的：（1,13）（2,14）（3,15）（4,16）（5,17） （6,18）（7,19）（8，20）（8，,20）（9,10）（11,12） 4+8+1=13（个）
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超常大挑战
假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色 的线段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角 形， 使三角形的三边同色？
任取一点A，从A点可引5条线段 根据抽屉原理，必有3条颜色相同 情况1：如果BCD中有一根线为红色 那么，即可得到红色三角形。 情况2：如果BCD中没有红色线， 那么，BCD本身构成蓝色线三角形 所以，一定可以找到同色三角形。
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抽屉原理和最不利原则本质上是一回事， 都是伴随着“保证”和“至少”
例题【三】（★ ★ ★）
圆上的100个点将该圆等分为100段等弧，随意将其中的一些点染成红点， 要保证至少有4个红点是一个正方形的4个顶点，问：你至少要染红多少 个点?
只有等距离的四个点才能构成正方形， A、B、C、D四点将圆周分为4个区域平均每个区域 平均每个区域有25个点 每个区域中必须取到相应的一个点， 方可构成正方形， 根据最不利原则：3×25+1=76（个）点
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