δ11·X1 +Δ1F =0 上式称为力法方程，而δ11称为方程的系数， Δ1F称为方程的自由项。
因为δ11和Δ1F均为已知力作于静定结构时，引起 的B点沿X1方向上的位移，所以由静定结构的位移计 算方法可以求得。因此解力法方程可求出多余未知
力X1。
为了具体计算位移δ11和Δ1F，可分别绘出基本 结构在荷载q和X1＝1单独作用下的MF图和 M图1 [图(a， b)]，然后用图乘法计算。
构的方法，求出原结构的其余反力和内力，最后绘
出原结构的弯矩图，如图（c）所示。
超静定结构的最后弯矩图
ql 2 8
ql 2
M，也可利用已经绘出的
M
图
1
和 MF 图 按 叠 加 原 理 绘 出 ， A
8
B
即MM1X1MF。
M图 （c）
综上所述，力法是以多余未知力作为基本未知 量，以去掉多余约束后的静定结构作为基本结构， 根据基本结构在多余约束处与原结构完全相同的位 移条件建立力法方程，求解多余未知力，从而把超 静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。
同理可用M 1 图乘MF图计算Δ1F
Δ 1F E 1 I1 3l1 2q2l4 3l8 qE 4lI
(a) MF 图
将δ11和Δ1F代入力法方程，可解得多余未知力
X1。
Χ1
1F 1 1
3ql 8
X1
(b)M1图
所得末知力X1为正号，表示反力X1的方向与所
设的方向相同。
多余未知力X1求出后，将已求得的多余力X1与 荷载q共同作用在基本结构上, 就可以按求解静定结
X2 、X3方向上的位移[图(f)]。
对于n次超静定结构，用力法分析时，去掉n
个多余约束，代之以n个多余未知力，当原结构在
去掉多余约束处的已知位移为零时，采用上面同
样的方法可以得到n个方程，称为力法典型方程。
11Χ112Χ2 133 Δ1F 0 21Χ122Χ2 233 Δ2F 0 31Χ132Χ2 333 Δ3F 0
上式就是三次超静定结构的力法方程。
X3 X1
X2
=
（b） X3
+
（e）
（c）
X1
+
X2 （d）
3F
2F
+
1F
（f）M
图
F
式 中 ： δ11 、 δ21 、 δ31 —— 当 X1 ＝ 1 时 引 起 的 基 本 结
X1
(b)基本结构
只要能够求出多余未知力X1，原结构的计算问 题就转变为静定的基本结构在荷载q及多余未知力 X1共同作用下的静定结构计算问题了。我们把多余 未知力称为力法计算的基本未知量。
X1
(b)基本结构
在图(b)所示的基本结构上，多余未知力X1是代 替原结构支座B的作用。因此，基本结构的受力和 变形应与原结构完全相同。设基本结构在B点沿X1 方向上的位移为Δ1。由于在原结构图(a)中，支座B 处的竖向位移等于零。所以，在基本结构图(b) 中， B点由荷载q与多余未知力X1共同作用下在X1方向上 的位移Δ1也应该为零，即
下面通过对一次超静定结构的分析，阐述力 法的基本原理。
如图所示一端固定、另一端铰支的梁，该梁 有一个多余约束，是一次超静定结构。
如果把支 杆B作为多余约束去掉，并代之以多 余未知力X1，则原结构就转化为图（b）所示的静 定梁。它承受着与图（a）所示原结构相同的荷载 和多余未知力。我们把这种去掉多余约束用多余 未知力来代替后的静定结构称为按力法计算的基 本结构。
构上沿 X1 、X2 、X3方向上的位移[图(c)]；
δ12、δ22、δ32 ——当X2＝1时引起的基本结构上沿
X1 、 X2 、X3方向上的位移[图(d)]；
δ13、δ23、δ33——当X3＝1时引起的基本结构上沿
X1 、X2 、X3方向上的位移[图(e)]； Δ1F、Δ2F、Δ3F——荷载引起的基本结构上沿X1 、
X2
X3
X1
X2
(a)
(b)
c
MA X1
4.将一刚结点改为单铰联结或将一个固定支座 改为铰支座，相当于去掉一个约束，如图所示。
X1
X1
(a)
(b)
(c)
6.2 力法
6.2.1 力法的基本原理
力法计算超静定结构，是以静定结构为计算 对象，把多余未知力作为基本未知量，根据变形 协调条件建立力法方程，从而把计算超静定结构 多余未知力的问题转化为计算静定结构的问题。
本结构。
X3 X1
X2
（a）
（b）
由于原结构C处为固定支座，其线位移和角位
移都为零。所以，基本结构在荷载q及X1、X2 、X3 共同作用下，C点沿X1、X2 、X3方向的位移都等于
零，即基本结构应满足的位移条件为
Δ1=0 Δ2=0 Δ3=0
X3
X1
X2
（a）
（b）
根据叠加原理，上面的位移条件可以表示为
6.2.2 力法典型方程
前面用一次超静定结构说明了力法计算的基
本原理，下面以一个三次超静定结构为例进一步
说明力法计算超静定结构的基本原理和力法的典
型方程。
图(a)所示为一个三次超静
定刚架，荷载作用下结构的变
形如图中虚线所示。
（a）
这里我们去掉固定支座C处的多余约束，用多
余未知力 X1、X2 、X3代替，得到如图(b)所示的基
建筑力学第六章超静定结 构内力计算
本章内容
6.1 概述 6.2 力法 6.3 位移法 6.4 力矩分配法
2.去掉一个铰支座或一个单铰，相当于去掉两 个约束，如图所示。
X2
X1
(a)
X1
X2
X2
X1
(b)
3.去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当
于去掉三个约束，如图所示。
X2
X1 X3
(a) MF 图
X1
(b)M1图
由于MF
图和M
图分别是基
1
本结构在X1＝1和荷载q作用下
的弯矩图，同时 M 1 图又可理解 成为求B点的竖向位移而绘制的
单位荷载作用下的弯矩图。所
以，可用图M
1
乘
M
1 图，即M
图
1
自乘，则有
11E 1 I1 2ll23l3lE 3 I
(a) MF 图
(b)M1图
X1
Δ1=0
上式称为基本结构应满足 的原结构的位移条件，设 Δ1F[图(c)]和Δ11[图(d)]分别表示 荷 载 q 与 多 余 末 知 力 X1 单 独 作 用于基本结构上时，引起的B 点沿X1方向上的位移。由叠加 原理，有
Δ1 =Δ11 +Δ1Fc)
+
(d)
X1
由于X1是末知力，若以δ11表示X1＝1单独作用 于 基 本 结 构 时 引 起 的 B 点 沿 X1 方 向 上 的 位 移 ， 即 Δ11 = δ11·X1 ，则