实验的理论基础何钟怡一．实验的重要作用①是公理化体系的基础；②是实验建模的基础；③通过实验解决具体问题。

二．指导实验的理论实验的缺陷：①由于实验的具体性，使得实验结果的狭隘性，未能达到举一返三的作用。

②鲜活的实验规模大，但足尺寸实验太费时、费力、费财。

③实验的可信性论证。

④实验中的许多干扰因素：环境干扰和自干扰，这需要滤掉干扰，这也需要理论指导。

如：Shannon“采样定理”。

⑤实验的合理设计。

三．现代实验的若干发展趋势1．重大影响技术：①计算机技术②高分辨技术―――对痕量成分的感知③微电子技术―――传载、记录部分④非线性基础理论―――对湍流的把握有重大进展2．存在的事实趋势：①传统的物理实验正在被突破并不断补充新的内涵；物理和数值实验；数值实验（数值仿真）；②许多领域的实验趋向于小型化；③传统的个性实验阵地逐渐被侵蚀，逐渐向以建模与数值仿真相结合的领域发展。

四．课程内容和目的1．内容：第一章 相似理论第二章 因次理论第三章 误差理论第四章 谱分析第五章 传感器对待测场的干扰第六章 数值实验2．目的：①实用性；②想象力的培养；③拓宽视野、增大跨度。

第一章 相似理论§1 概述一．目的和内容目标：1．打破具体实验的局限性，推广到和它相似。

2．构造与原则相似的模型，使模型上实验结果解决原型的实验需求。

3．把模型实验的系列结果推广到类似的群体里去。

用 相似正定理 追踪相似逆定理 追踪相似类似定理 追踪二．主要线索的分析例：发生在圆形区域内的一个现象，一个稳定电场，半径为，在圆形周边施加一定的电位，给定自变量（0R θ,r ），欲确定稳定恒电场内的电位分布),(θr f U =。

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∠≤≤==∂∂+∂∂+∂∂πθθθ20,sin 0110022222R r U U Ur r U r r U )3()2()1(0R 、为特征常量，决定此问题的规模。

若很大，则电位很高，很危险，所以借助于相似理论来解决，此问题没有考虑到电流密度，因为它与导电率有关系，会受到一定的局限性。

0U 0U 1．把定解方程组无因次化2020022R U R r U U r U 2⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂=∂∂ 令0U U U =′ 0R r r =′2220022r U R U r U ′∂′∂⋅=∂∂∴ （1）式变为： 012220020022200=′∂′∂⋅+′∂′∂⋅′⋅+′∂′∂⋅θU R U r U r R U r U R U即012222=′∂′∂+′∂′∂⋅′+′∂′∂θU r U r r U （2）式变为： 1=′r 时， θ′=′sin U（3）式变为： 1≤′r 时， πθ20∠′≤ 2．对于小模型⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∠≤≤===∂∂+∂∂+∂∂πϕρρϕρρϕρρρρ2001100022222,sin u 时u uu u无因次化后，将、0u 0ρ作为特征常量，上式变为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∠′≤≤′′=′=′=′∂′∂′+′∂′∂′+′∂′∂πϕρϕρϕρρρρ201101122222,sin u 时u u u 其中：0ρρρ=′ 0u u u =′ ϕϕ=′ 从以上的两个方程组可知有相同的解结构()ϕρ′′=′,F u ()θ′′=′,r F U 若U u ,r ′=′→′=′′=′θϕρ00R r =∴ρρ 则l C Rr ==00ρρu C u U u U ===01ϕϑ相似理论的实质是将变量及自变量进行线性变换，所以它是将定解方程组用各自的特征常量无因次化后全同，这是相似理论正逆定理的主要内容。

§2 同类现象的相似标量 T向量 （）或 表示某个点速度 i u 321,,i =)(i u 指标 ij σ βα,表示所属指标 ()[]i u α表示属于α现象整个区域的速度集合一．空间定义域的相似定义：若α现象定义于αω域，β现象定义于βω域，若在α中选择任一点其坐标为，在)(i x αβ域内总有唯一一点与之对应，满足如下关系式：)(i x βl iiC x x =βα为常数。

反之，β域内任一点其坐标也能在α域内找到唯一点满足上式，称αω与βω空间相似。

二．时间定义域的相似定义：若α现象时间定义域为ατ，β现象时间定义域为βτ，若在α域内任一点在αt β域内总有唯一一点与之对应，两者满足下式：βt t C t t =βα为常数。

反之，β域内任一点在α域内总有唯一点满足上式，称ατ与βτ时间相似。

说明：时间是一维的，所以恒相似。

同时满足空间域与时间域的点为时空对应点，相似性是在时空对应点上展开的。

三．因变量的相似)(k i k y α⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,,21k－－因变量 y α－－原型或模型 －－物理量 k －－属于第个物理量的第几个分量k i k 定义：在任一给定的对应时空点上，α现象的某因变量与β现象上的同名因变量满足下式：const C y y k k i k i kk ==)()(βα，则称两因变量相似。

四．同类现象的相似1．同类现象：若两现象的基本方程组具有同形结构，则称两现象是同类的。

但不强调是同一种物质、同边界条件。

2．同类现象的相似：两现象分别定义于α、β时空定义域内，对于任意给定的时空对应点，若同名物理量呈固定比例k k i k i C y y kk =)()(βα ),,,(n 21k ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，若其时空定义域是相似的，则同类现象相似。

总结：（1）用定性分析来确定模型实验是否可以替代原型实验，如果可以则对模型实验进行定量分析求解。

（2）求解后，需利用相似理论来保证将模型映射到原型中去。

（3）第二小节是第一小节的理论总结，它是第一个例题的逻辑总结，是上升到普遍的规律，这种表现手法是简单的，应该值得学习，这种符号表示是一种高级手法，不该回避。

§3 定解方程组的相对化一．求和约定Einstein 1．方程中的某项下标重复，则该项代表同型项求和，下标取一切可能值。

2．方程中的某项下标不重复，则该方程代表一个同型方程的集合，子方程的下标取一切可能值。

例： 指求和下标L ,,,)(321i u i =0x u ii =∂∂ 即0x ux u x u 332211=∂∂+∂∂+∂∂dt du m F i i = 即 dt du m F 11=， dt du m F 22=，dtdu m F 33= 二．定解方程组从大框上来观察定解方程组，它包括三个要素：①基本方程：它是支配你所研究这类现象的普遍规律，它用数学方法将物理现象“翻译”成数学表达。

②边界条件：空间自变量定义域，界定边界几何形状，研究因变量的赋值。

③起始条件：三．基本方程组的相对化选择载体：不可压缩牛顿流体宏观机械运动。

本构规律：此类物质区别于其它物质的规律，由此推演出的方程称为本构方程，将其属性个性化，下列流体的本构方程为牛顿内摩擦应力方程。

连续性方程：0x u ii=∂∂ N －S 方程：j j i 2ii j i j i x x u x p1F x u u t u ∂∂∂+∂∂−=∂∂+∂∂νρ 变 量： 、 、t 、 、)(i u )(i x )(i F p 特征常量：U L T F P 相对化为： 、 、t 、)(i u ′)(i x ′′)(i F ′ 、p ′ 则连续性方程无因次化后可写为：0x u ii=∂∂ N-S 方程无因次化后可写为:′∂′∂′∂⋅+′∂′∂⋅−′⋅=′∂′∂′⋅+′∂′∂⋅j j i 22i i j i j2i x x u L U x p L P F F x u u L U t u T U νρ 用LU 2同除等式两端后，′∂′∂′∂⋅+′∂′∂⋅−′=′∂′∂′+′∂′∂⋅j j i 2i 2i 2j ij i x x u LU x p U P F U FL x u u t u TU L νρ 令νρUL U P Eu FL U Fr LUT St 22====Re ,,, ′∂′∂′∂⋅+′∂′∂−′=′∂′∂′+′∂′∂⋅∴j j i 2ii j ij i x x u 1x p Eu F Fr 1x u u t u St 1Re 四．边界条件的相对化k G 上， 0t x p u B i i k =])..().[(m 21k ,,,⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 该边界条件由m 个方程组成，是求和约定的盲区。

0TtT L x L P p P U u U B i i k =⋅⋅]),(,),([ 0t T x L p P u U B i i k =′′′′]),(,),([ 0t x p u B i i k =′′′′′]),(,),[(五．起始条件的相对化()()[]0x p u I t t i i h 0==..§4 相似定理一．相似的必要和充分条件定理：两同类现象相似的必要和充分条件是用相应特征常量相对化的定解方程组全同。

证明：1．充分性。

基本方程0x u i i =′∂′∂αα′∂′∂′∂⋅+′∂′∂−′=′∂′∂′+′∂′∂⋅jj i 2i i j i j i x x u 1x p Eu F Fr 1x u u t u St 1αααααααααααααααRe 边界条件 0t x p u B i i k =′′′′]),(,),[(ααααα m 21k ,,,L L = 起始条件 0x p u I i i h =′′′)](,),[(αααα n 21h ,,,L L = 因为定解方程组是指只有唯一确定的解，对于β现象的定解方程组与上述完全相同，只是将所属下标α换成β。

若定解方程组解的如下：i u ]),[(ααααt x f u i i i ′′′=′ ]),[(ββββt x f u i i i ′′′=′由于具有相同的函数解结构，当βαβαt t x x i i ′=′′=′,时，必有i i u u βα′=′。

即：l i i i i C L Lx x L x L x ==⇒=βαβαββαα 同理u t C u uC t t ==βαβα, 同时，若，则有：βαβαt t x x i i ′=′′=′,βαp p ′=′即：t l i i C t t C x x ==βαβα, 有p C p p=βα 在时空对应点上，同名物理量是常数，所以两类现象相似。

2．必要性在时空对应点上，由于两现象相似，已知：βαβαβαp p u u F F i i i i ′=′′=′′=′,,因为时空对应点相似，所以可以得出其边界条件方程全同。

若在时空对应点上相似，则说明各因变量的函数分布是相同的，则对各个自变量的导数值相等，证明思路为在空间域上选择四个不同的点分别列出方程，来求解这四个方程中各项前系数，从而证明定解方程组全同。