第五章 投资组合理论与应用第一节 投资组合的收益与风险一、 投资组合的收益1、 举例： a.（1） 证券 （2） 数量（股）（3） 单价 （4） 总价 （5） 预期期末价格（6） 预期期末总值A 100 40 4,000 42 4,200B 200 35 7,000 40 8,000C 100 62 6,200 70 7,000 合计 17,200 19,200投资组合的预期收益率=19200/17200-1=11.63% b. （1） 证券（2） 总价（3） 占总价比例（2）/17200 （4） 单价（5） 预期期 末价格 （6） 预期持有收益率% (7)对组合预期持有收益率的贡献% A 4,000 0.2325 40 42 5 1.16 B 7,000 0.4070 35 40 14.29 5.82 C 6,200 0.3605 62 70 12.9 4.65 合计 17,200 1.000011.632、 结论一个组合的预期收益率是单个证券预期收益率的加权平均数，所用权数是市场价值份额。

即 ∑==ni iip EX E 1二、 投资组合的风险。

1、 举例。

假设两种证券A 和B 。

X A =0.6，X B =0.4a.收益 （1） 事件 （2） 概率 （3） A 证券收益率 （4） B 证券收益率% （5） 组合收益0.6×（3）+ 0.4×（4）a 0.10 5% -1% 2.6%b 0.40 7% 6% 6.6%c 0.30 -4% 2% -1.6%d 0.20 15% 20% 17%b.方差A B 组合 预期收益率 收益率方差 标准差5.1% 45.896.7742% 6.9% 48.09 6.9247% 5.82% 42.7956 6.5418%222222222222%)82.5%6.2(1.0%)82.5%6.6(4.0%)82.5%6.1(3.0%)82.5%17(2.0100007956.42%)9.6%1(1.0%)9.6%6(4.0%)9.6%2(3.0%)9.6%20(2.01000009.48%)1.5%5(1.0%)1.5%7(4.0%)1.5%4(3.0%)1.5%15(2.01000089.45%9.64.0%1.56.0%82.5)01.0(1.006.04.002.03.020.02.0%9.605.01.007.04.0)04.0(3.015.02.0%1.5-+-⨯+--⨯+-⨯=--⨯+-⨯+-⨯+-⨯=-⨯+-⨯+--⨯+-⨯=⨯+⨯=-⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+-⨯+⨯=很明显,组合的方差不等于各证券方差的加权平均。

本题中，组合的方差小于A 和B 两个证券中的任何一个。

为什么会这样呢？因为组合的风险不仅依赖于单个证券的风险，也依赖单个证券间受某一共同因素的影响程度。

例如，两个证券正相关时，如X A =60% X B =40% （1） 事件 （2） 概率 （3） A 证券收益率 （4） B 证券收益率% （5）组合收益0.6×（3）+ 0.4×（4）a 0.10 5% 5% 5%b 0.40 7% 7% 7%c 0.30 6% 6% 6% d0.20 -2% -2% -2% 预期收益率 4.7% 4.7% 4.7% 方差 11.61 11.61 11.61 标准差3.41 3.413.41又比如X A =60% X B =40% （1） 事件 （2） 概率 （3） A 证券收益率 （4） B 证券收益率%（5） 组合收益0.6×（3）+ 0.4×（4）a 0.10 5% 2.5% 4.0%b 0.40 7% -0.5% 4.0%c 0.30 6% 1.0% 4.0%d 0.20 -2% 13%4.0% 预期收益率4.7% 2.95% 4.0% 方差11.61 26.12 0 标准差3.41 5.11 02、 结论两种证券的组合的风险BA B A B A BA B A B A BA B A B B A A p p S S C S S C C X X S X S X S V ,,,,,222222==+⋅+⋅==ρρ多种证券的组合的风险∑∑===N i Nj ij j i p C X X V 11第二节 证券相关程度与投资组合风险一、 收益完全正相关∑∑∑∑∑∑∑∑=≠===≠====+=+==Ni Nij j ji ij j iNi iiNi Ni j j ij j iN i iiN i Nj ijj i p S S X XS X C X X S X C X X V 1,11221,112211ρ假设有两种股票A 和B ，其相关系数为1，并且SA=2%，SB=4%，XA=50%，XB=50%，则组合方差为AB AB B A P AB A B AB AA B A A B P A A B A A B AB A P A A B B A p AB A P B A B B A B B A B B B A A p A B B A B B A B B B A A p p p B B A A p B B A A p B B A A BA B A B B A AB A B A B A B B A A BA B A B B A Ap p p BA B A B A B B A A BA B A B B A A p p S S S E S E S S S E E S S E S E S E E S S E S E E E S S S S E E E X E E S S S S X S S X S S X S X S X S X S E E X E E X E X E X E X E S E E X E X E S X S X S S X S X S S X X S X S XS S X X S X S X C X X S X S XS V S S S X X S X S XC X X S X S X S V --+⨯--=-+--+-=---+=-+=--=-+=+-=+=-+=+-=+=+=+=+=+⋅+⋅=+⋅+⋅=+⋅+⋅=====⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯=+⋅+⋅=+⋅+⋅==)()()()()1)()1(()222%4%2%(303.00009.004.002.015.05.0204.05.002.05.02222222,2222,222222222,2222,22222因此，所以，（而（证明的线形函数是可以证明，此时函数）为单个证券收益的线形而函数）为单个证券风险的线形（一般情况下之间）和界于ρρ因此，有下图E pE P =a+bS PS p结论：如果两种证券收益完全正相关，那么组合的收益与风险都是加权平均数，权数都是投资份额。

因此，无法通过组合使得组合投资的风险比最小的那个证券还低。

二、 完全不相关∑∑∑∑∑∑∑∑∑==≠===≠=====+=+==Ni i i Ni Nij j ji ij j i Ni i i Ni Ni j j ijj iN i iiN i Nj ijj i p S X S S X X S X C X X S X C X X V 1221,11221,112211ρ对于两种证券而言，2222,222222BB A A BA B A B B A A p p SX S X C X X S X S X S V ⋅+⋅=+⋅+⋅==结论是可以降低风险。

例如，假设有两种股票A 和B ，其相关系数为0，并且SA=2%，SB=4%，XA=50%，XB=50%，则组合方差为%24.20005.0004.025.002.025.022==+⨯+⨯=p p S V但2.24%大于2%，即组合风险还高于单个证券风险最低的那个证券 风险。

但如果将第一种证券的投资比例增加到90%时，%8.100034.0004.001.002.081.022==+⨯+⨯=p p S V此时组合的风险比任何单个证券的风险都低。

三、 完全负相关对于两种证券而言，BB A A B A B A BB A A BA B A B B A A B A B A B B A A p p S X S X S S X X S X S X S S X X S X S X C X X S X S X S V -=-⋅+⋅=-+⋅+⋅=+⋅+⋅==2)1(2222222222,22222结论是可以降低风险，并且可以完全回避风险。

时，可以完全回避风险即当组合投资BA AB B A B A BA AB A B A B B B A B A ABB B A BB A B B A A p S S S X S S S X S S S X S S S X S X S X S S S X X S S X X S X S X S +=+=+==+=-=-===,)(10例如，假设有两种股票A 和B ，其相关系数为-1，并且SA=2%，SB=4%，XA=50%，XB=50%，则组合方差为%101.0)02.05.004.05.0(04.002.05.05.0204.05.002.05.0222222==⨯-⨯=⨯⨯⨯⨯-⨯+⨯=p p S V四、 总结1、 投资组合收益与单个资产收益间的相关性无关，而风险与单个证券收益间的相关性有非常大的关系；2、 单个证券间的收益完全正相关时，投资组合的收益无法低于单个证券风险最低的那个；3、单个证券间的收益完全无关时，投资组合可以降低风险。

通常随着风险低的资产的投资比例增加，投资组合的风险不断下降。

4、单个证券间的收益完全负相关时，投资组合的风险可以大大降低风险，甚至可以完全回避风险。

第三节有效边界一、马克威茨模型（Markowitz Model）。

（一）假定马克威茨模型有七个假定，分别是：（1）投资者遵循效用最大化原则；（2）投资期为一个，即投资者考虑的是单期投资而不是多期投资；（3）投资者都是风险回避者，即在收益相等的条件下，投资者选择风险最低的那个投资机会；（4）投资者根据均值、方差以及斜方差来选择最佳投资组合；（5）证券市场是完善的，无交易成本，而且证券可以无限细分；（6）资金全部用于投资，但不允许卖空；（7）证券间的相关系数都不是－1，不存在无风险证券，而且至少有两个证券的预期收益是不同的。

（二）图形将每个证券的预期收益、标准差以及由单个证券所能构成的全部组合的预期收益、标准差画在以标准差为横轴、以预期收益为纵轴的坐标中，就会生成投资机会集，其基本形状如图1所示RPFDCTEBSP图1投资机会集与效率边界在图1中，在图形BECF范围内，包括了全部单个证券与全部组合的风险与收益的坐标点。