绝密★启用前数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号 一 二 三 总分 得分注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.全集，，，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．B ．C ．D ．2. 从2020年起，某地考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A 、B 、C 、D 、E ，各等级人数所占比例依次为：A 等级15%，B 等级40%，C 等级30%，D 等级14%，E 等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为（ ） A ．55B ．80C ．90D ．1103．已知A ＝{x |1≤x ≤2}，命题“∀x ∈A ，x 2－a ≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5 D ．a ≤54．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法不正确的是（ ） A ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 B ．此人第六天只走了5里路 C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍5. 已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()32a f -=，()3mb f =，()0.5log 3c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<6. 函数π()sin()(0)4f x A x ωω=+>的图象与x 轴正方向交点的横坐标由小到大构成一个公差为π3的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移4π个单位B ．向左平移π12个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移34π个单位7．现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为12×10000＋12×10000×2＝32×10000，2小时后，细胞总数约为12×32×10000＋12×32×10000×2＝94×10000，问当细胞总数超过1010个时，所需时间至少为( ) (参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301)A ．38小时B ．39小时C ．40小时D ．41小时8. 若1a >，设函数()4xf x a x =+- 的零点为(),log 4a m g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的取值范围是( ) A ．7,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．9,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．()4,+∞D ． [)1,+∞ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9. 如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论： A ．三棱锥1A D PC -的体积不变 B ．1A P 与平面1ACD 所成的角大小不变 C. 1DP BC ⊥ D ．1DB ⊥1P A其中正确的结论有( )10.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右两个顶点分别是A 1，A 2，左右两个焦点分别是F 1，F 2，P 是双曲线上异于A 1，A 2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）A ．122PF PF a -=B ．直线12,PAPA 的斜率之积等于定值22b aC ．使12PF F ∆为等腰三角形的点P 有且仅有4个D ．焦点到渐近线的距离等于b11.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60B =︒，4b =，下列判断：A ．若3c =，则角C 有两解； B ．若92a =，则角C 有两解； C ．ABC 为等边三角形时周长最大. D ．ABC 为等边三角形时面积最小其中判断正确的是（ ）12. 已知函数()ln f x x =，32()2e ()g x x x kx k R =-+∈，若函数()()y f x g x =-有唯一零点,则以下四个命题中正确的是______A ．21e ek =+B ．曲线()y g x =在点(e,(e))g 处的切线与直线e 10x y -+=平行C ．函数2()2e y g x x =+在[0,e]上的最大值为22e 1+D ．函数2()e ex y g x x =--在 [0,1]上单调递增。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. ()()42x y x y ++的展开式中32x y 的系数为______________ 14.函数()2ln 1x f x a x ⎛⎫=+⎪+⎝⎭为奇函数，则实数___________a = 15.ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若函数()()322213f x x bx a c ac x =+++-1+有极值点，则角B 的范围是____________________16. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：()[]1,(,,0,0,10,1q q x p q p p p R x x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩当都是正整数是既约真分数)当或上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x -+=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则108lg 35f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________.四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）． （1）在下列条件中选择一个，使数列{}n a 是等比数列，说明理由；① 数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列；② 数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③ 数列(){}nf a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当2k =时，设12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. 已知函数π()cos()(0,0,0)2f x A x A ωϕωϕ=+>><<的图象过点（0，12），最小正周期为2π3，且最小值为－1.（1）求函数()f x 的解析式.（2）若()f x 在区间π[,]6m 上的取值范围是3[1,]--，求m 的取值范围.19. 如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAC ⊥平面ABC ，ABC ∆和VAC ∆均是等腰直角三角形，AB BC =，2AC CV ==，M ，N 分别为VA ，VB 的中点.（Ⅰ）求证：AB VC ⊥；（Ⅱ）求直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值.20. 在平面直角坐标系中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎫52，32，离心率为255.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点K (2,0)作与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，过A ，B 点作直线l ：x ＝a 2c 的垂线，其中c 为椭圆C 的半焦距，垂足分别为A 1，B 1，试问直线AB 1与A 1B 的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．21. 某中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，才能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，（2）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列（只需列式无需计算）及期望E ξ．22. 已知函数()()2xx ax a f x e+-=，其中a R ∈.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 的切线方程；（2）求证：若()f x 有极值，则极大值必大于0.答案选择题：填空题：13. 14 14. 1- 15. (,)3ππ 16.15解答题 17. （10分）（1）①③不能使{}n a 成等比数列.②可以：由题意()4(1)222n f a n n =+-⨯=+， ………1分 即log 22k n a n =+，得22n n a k+=，且410a k =≠，2(1)22122n n n n a k k a k++++∴==. ………3分 常数0k >且1k ≠，2k ∴为非零常数，∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列． ………4分（2）由（1）知2n 2n k a +=，所以当k =12n n a +=.………5分因为12241+=-n n n a b n ， 所以2141n b n =-，所以1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ………7分12111111...1...23352121n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. ………10分18. （12分）（1）由函数的最小值为－1，可得A=1， ………2分因为最小正周期为23π，所以ω=3. ………4分 可得()cos(3)f x x ϕ=+，又因为函数的图象过点（0，12），所以1cos 2ϕ=，而02πϕ<<，所以3πϕ=， 故()cos(3)3f x x π=+. ………6分（2）由[,]6x m π∈，可知533633x m πππ≤+≤+，因为5()cos662f ππ==-，且cos π=－1，7cos 62π=-， 由余弦曲线的性质的，7336m πππ≤+≤，得25918m ππ≤≤，即25[,]918m ππ∈. ………12分19. （12分）（Ⅰ）在等腰直角三角形VAC ∆中，AC CV =，所以VC AC ⊥. ………2分因为平面VAC ⊥平面ABC ，平面VAC 平面ABC AC =， VC ⊂平面VAC ，所以VC ⊥平面ABC . ………4分又因为AB平面ABC ，所以AB VC ⊥； ………5分（Ⅱ）在平面ABC 内过点C 作CH 垂直于AC ， 由（Ⅱ）知，VC ⊥平面ABC ，因为CH ⊂平面ABC ，所以VC CH ⊥. ………6分 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -.则()0,0,0C ，()0,0,2V ，()1,1,0B ，()1,0,1M ，11,,122N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()1,1,2VB =-，()1,0,1CM =，11,,122CN ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ………7分设平面CMN 的法向量为(),,n x y z =，则00n CM n CN ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即011022x z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩. 令1x =则1y =，1z =-，所以1,1,1n. ………10分直线VB 与平面CMN 所成角大小为θ，22sin cos ,3n VB n VB n VBθ⋅===⋅. 所以直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值为22. ………12分20. （12分）(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，54a 2＋34b2＝1，c a ＝255⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，c ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2＝1. ………4分(2)①当直线AB 的斜率不存在时，直线l ：x ＝52，AB 1与A 1B 的交点是⎝⎛⎭⎫94，0. ………5分 ②当直线AB 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 为y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 2＋5y 2＝5⇒(1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0， 所以x 1＋x 2＝20k 21＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－51＋5k 2， ………6分A 1⎝⎛⎭⎫52，y 1，B 1⎝⎛⎭⎫52，y 2，所以lAB 1：y ＝y 2－y 152－x 1⎝⎛⎭⎫x －52＋y 2， lA 1B ：y ＝y 2－y 1x 2－52⎝⎛⎭⎫x －52＋y 1， ………7分 联立解得x ＝x 1x 2－254x 1＋x 2－5＝20k 2－51＋5k 2－25420k 21＋5k2－5＝－45（1＋k 2）－20（1＋k 2)＝94， ………9分代入上式可得 y ＝k （x 2－x 1）－10＋4x 1＋y 2＝－9k （x 1＋x 2）＋4kx 1x 2＋20k4x 1－10＝－9k ·20k 21＋5k 2＋4k ·20k 2－51＋5k 2＋20k4x 1－10＝0. ………11分综上，直线AB 1与A 1B 过定点⎝⎛⎭⎫94，0. ………12分21. （12分）（1） 分别记甲对这四门课程考试合格为事件,,,A B C D ,则“甲能修得该课程学分”的概率为()()()P ABCD P ABCD P ABCD ++,事件,,,A B C D 相互独立， ………2分3221322132115()()()43324332433212P ABCD P ABCD P ABCD ++=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=. ……5分 (2)0337(0)()12P C ξ==， 12357(1)()()1212P C ξ==，22357(2)()()1212P C ξ==, 3335(3)()12P C ξ==因此，ξ的分布列如下：………9分因为ξ～53,12B ⎛⎫⎪⎝⎭ ………10分 所以553.124E ξ=⨯= ………12分22. （12分）（1）()()()()2222'x xx a x a x a x f x e e---+-+-==， ………2分 当0a =时，()1'1f e =，()11f e=， ………3分 则()f x 在()()1,1f 的切线方程为1y x e=； ………4分（2）证明：令()'0f x =，解得2x =或x a =-， ………5分①当2a =-时，()'0f x ≤恒成立，此时函数()f x 在R 上单调递减，∴函数()f x 无极值； ………6分 ②当2a >-时，令()'0f x >，解得2a x -<<，令()'0f x <，解得x a <-或2x >， ∴函数()f x 在(),2a -上单调递增，在(),a -∞-，()2,+∞上单调递减， ∴()()2420a f x f e+==>极大值； ………9分 ③当2a <-时，令()'0f x >，解得2x a <<-，令()'0f x <，解得2x <或x a >-， ∴函数()f x 在()2,a -上单调递增，在(),2-∞，(),a -+∞上单调递减， ∴()()0a af x f a e-=-=>极大值， 综上，函数()f x 的极大值恒大于0. ………12分。