就有
an − 1 < ε ,
即 n + (−1)n−1 − 1 < ε 即 lim n + (−1)n−1 = 1.
n
n→∞
n
例2
设an ≡ C(C为常数),
证明
lim
n→∞
an

=
C.
证 ∀ ε > 0, 对于一切自然数 n ,
an − C = C − C = 0 < ε成立 ,
所以,
lim
n→∞
解 ∵ 8 < n 1n + 3n + 8n < 8 n 3,
又 lim n 3 = 1 n→∞
由夹逼准则得
lim n 1n + 3n + 8n = 8.
n→∞
利用夹逼准则求极限关键是构造出{bn }与{cn }, 并且{bn }与{cn }的极限是容易求的.
如果数列{an }满足条件
a1 ≤ a2 ≤ an ≤ an+1 ≤ , 单调增加
数列极限的定义未给出求极限的方法，我们 可以用定义来证明极限的存在.
例1 证明 lim n + (−1)n−1 = 1.
n→∞
n
证
an − 1
=
n + (−1)n−1 − 1 = 1
n
n
∀ε > 0,
要使 an − 1 < ε ,
即 1 < ε ,即n > 1
n
ε
取N
=
[
1
ε
],
则当n > N时,
上两式同时成立, bn ≤ an ≤ cn也成立,
即 a − ε < bn < a + ε , a − ε < cn < a + ε ,
当 n > N时, 恒有 a − ε < bn ≤ an ≤ cn < a + ε ,
即 an − a < ε 成立,
∴
lim
n→∞
an
=
a.
例7 求 lim n 1n + 3n + 8n n→∞
10000 意给定ε > 0,
, 只要
只要n
n >
> 10000
N
(
=
[
1
ε
时,有 an
])时, 有 a
−1
n−
<
1
1
<
1, 0000
ε成立
.
∵ an − 1 =
1 + (−1)n−1 − 1 = n
(−1)n−1 1 = 1 nn
只要n无限增大，an 就会与1无限靠近, 即 an − 1 可任意小,
an
=
C.
说明:常数列的极限等于同一常数.
例3 证明 lim q n = 0, 其中 q < 1. n→∞
证 ∀ε > 0, (ε < 1) 若q = 0, 则 lim qn = lim 0 = 0;
n→∞
n→∞
若0 < q < 1, 要使 an − 0 = qn < ε , 即 n ln q < ln ε ,
注意: ε − N定义的要点.
ε
−
N定义：
lim
n→∞
an
=
a
⇔
∀ε > 0,∃N > 0,当 n > N时,恒有 an − a < ε .
几何解释:
a−ε
2ε a + ε
a2 a1 aN +1 a aN +2 a3
x
当n > N时, 所有的点an都落在(a − ε , a + ε )内,
只有有限个(至多只有N 个)落在其外.
引入符号ε 和N来刻化无限靠近和无限增大.
n→∞
an无 限 接 近 1
n> N ⎯确⎯⎯保→ a n − 1 < ε
(ε 刻 画 an与1的 接 近 程 度 )
给定
ε
>
0, 只要
n
>
N (=
[1])时,有 ε
an − 1 < ε成立.
定义 1(ε − N 定义) 设{an }是一个数列，a 是一个
lim 1 (1 + n→∞ 2
1) n
=
1. 2
（5）保不等式性
定理
5:
若
lim
n→∞
an
=
a
,
lim
n→∞
bn
=
b ，且 an
≤
bn ,
n
>
N
,则
0
．a
≤
b
(即lim n→∞
an
≤
lim
n→∞
bn
)．
证：构造辅助整标函数cn = bn − an ≥ 0, n > N0 由定理 4 和定理 3 的推论 2 得证！
取n = 2N , n = 2N + 1,则
2 = a2N − a2N +1 ≤ a2N − a + a2N +1 − a < 2ε 这是不对的（如ε = 1）！
事实上,{an }是有界的,但却发散.
（3）保号性
定理3
若
lim
n→∞
an
= a,
且
a > 0 (< 0)
,
则∃N ∈ N + ,
当n > N 时, 有 an > 0 (< 0).
{n + 1} n
{(−1)n−1 }
1 4 n + (−1)n−1
2, , , ,
,;
23
n
n + (−1)n−1
{
}
n
观察数列{an }当n → ∞时的变化趋势.
通过观察:
当n无限增大时,
an
=
1+
(−1)n−1 n
无限接近于 1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
我们可用两个数之间的“距离”来刻化两个数的
（2）有界性
定 义 : 对 数 列 { an }, 若 ∃M > 0 , ∀n ∈ N + , 恒 有 an ≤ M ,则称数列{an}有界, 否则, 称为无界.
例如,
数列
xn
=
n n+1
有界； 数列 yn = 2n 无界.
数轴上对应于有界数列的点 an 都落在闭区间
[− M , M ]上.
定理2 收敛的数列必定有界.
即 n > lnε , 取N = [ lnε ],
ln q
ln q
则当n > N时,
就有 qn − 0 < ε , ∴ lim qn = 0. n→∞
用定义证明数列极限存在时,
由主要不等式 an − a < ε ⇒ 解出N
N 不必是最小的！
例4
证明
sin n
lim
n→∞
(n
+
1)2
=0
.
可以证明 lim n n = 1, lim n a = 1 (a > 0).
那么数列{an }的极限存在,
且
lim
n→∞
an
= a.
证 ∵ bn → a, cn → a,(n → ∞)
∀ ε > 0, ∃N1 > 0, N2 > 0, 使得
当 n > N1时恒有 bn − a < ε ,
当
n
>
N
时恒有
2
cn − a < ε ,
取 N = max{N1, N2 , N0 },
k
是一个常数；
(2)
lni→m∞(an )m
=
(lim n→∞
an
)m
=
am ,，其中
m
是一个正整数．
例6
求
lim(
n→∞
1 n2
+
2 n2
+
+
n n2
).
解 先变形再求极限.
lim(
n→∞
1 n2
+
2 n2
+
+
n n2
)
=
lim
n→∞
1
+
2
+ n2
+n
=
1 n(n + 1)
lim 2
n→∞
n2
=
+ 3 (n重根式)
证 (1)显然 a2 > a1, 设ak > ak−1, 则3 + ak > 3 + ak−1,
3 + ak > 3 + ak−1 , 所以 ak+1 > ak , 故{an }是单调增加的;
（2）又 ∵ a1 = 3 < 3, 假定 ak < 3,
ak+1 =
3 + ak <
3+3
< 3,
∴
{an
}是有上界的
;∴
lim
n→∞
an存在.
（3）设
lim
n→∞
an
=
a
.
∵ an+1 =
3 + an ,
推论 2
若lim n→∞
an
=
a ，且an
≥
（0 ≤
0）, n
>