l2
D1
D2
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
1122
将已知各误差值及误差传递系数代 入角度的系统误差式，得


2 cos 0
f l1
l1

f l2
l2

f D1
D1

f D2

D2


2
2 (0.0045 0.0011 0.0045 0.0008
2 2 93.921 2 20.961 45 15
0
2
145956 0

295952
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
1111
因为
sin 2 f (l1,l2, D1, D2 )
D1 D2
D1 D2
2l 2l1 2l2 D1 D2
§3.3 系统误差合成
§3.4 系统误差与随机误差的合成 §3.5 误差分配
§3.6 微小误差取舍准则
§3.7 最佳测量方案的确定
总结
第三章 误差的合成与分配
22
§3.1 函数误差
间接测量 通过直接测量与被测的量有一定
函数关系的其他量，然后按照已 知的函数关系式计算出被测的量。
函数误差 间接测得的被测量及其误差也应是直接测得


1
sin
n i1
f xi
xi
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
66
例题3.1
用弓高弦长法间接测量直径D。直接 测得其弓高h和弦长s，然后通过函 数关系计算求得直径D。 如果： h 50mm, h 0.1mm
s 500mm, s 1mm
求测量结果。
s

500
5
s
s
2h 250
直径的系统误差: D f s f h 7.4mm
s h
故修正后的测量结果:
D D0 D 1300 7.4 1292.6mm
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
99
例题3.2 用双圆球检定高精度内锥角α ，已知
D1=45.00mm, ΔD1=0.002mm D2=15.00mm, ΔD2=-0.003mm 测得尺寸及系统误差为
第三章 误差的合成与分配
重点与难点
1． 函数系统误差 2． 函数随机误差 3． 随机误差的合成 4． 未定系统误差和随机误差的合成 5． 误差分配 6． 微小误差取舍准则 7． 最佳测量方案的确定
第三章 误差的合成与分配
11
第三章 误差的合成与分配
主要内容 §3.1 函数误差
§3.2 随机误差的合成
cosd

f x1
dx1

f x2
dx2

f xn
dxn
cos

f x1
x1

f x2
x2

f xn
xn
sin f x1, x2,..., xn


1
cos
n i 1
f xi
xi
直接测量量 直接测量量
cos f x1, x2,..., xn
0.9659
0.0109 0.002 0.0109 0.003)rad
0.00011005rad
23
将所求得的角度系统误差修正后，则得被检定内
可得角度α的系统误差为


2 cos 0
f l1l1 Nhomakorabeaf l2
l2

f D1
D1

f D2

D2

2
式中各个误差传递系数为
f l1

-
(2l1
D1 D2 2l2 D1
D2 )2
2

0.0045；
f 0.0045； f 0.0109； f 0.0109
l1=93.921mm, Δl1=0.0011mm l2=20.961mm, Δl2=0.0008mm
解：由图可得函数关系式
sin （D1 D2）/ 2
D1 D2
2
l
2l1 2l2 D1 D2
若不考虑测得值的系统误差，则计算出的角度α0为
sin 0
45 15
0.2588
量及其误差的函数，故称这种间接测量的误 差为函数误差。
第三章 误差的合成与分配
33
§3.1.1 函数系统误差计算
在间接测量中，函数的形式主要
为初等函数，且一般为多元函数，
其表达式为： y f ( x1, x2 , ...xn )
对于多元函数，其增量可用函数的全微分表示，则上
式的函数增量为：
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
44
几种简单函数的系统误差
1、线性函数 y a1x1 a2x2 ... anxn
函数系统误差公式
y a1x1 a2x2 ... anxn
当 ai 1 y x1 x2 ... xn
2、三角函数形式
l1=93.921mm, Δl1=0.0011mm l2=20.961mm, Δl2=0.0008mm 求检定结果。
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
1100
（D1 D2）/ 2
l1 l2 D1 / 2 D2 / 2
D1=45.00mm, ΔD1=0.002mm D2=15.00mm, ΔD2=-0.003mm
f
f
f
dy x1 dx1 x2 dx2 ... xn dxn
若已知各个直接测量值的系统误差为：
x1 , x2 , , xn
用它来近似代替上式中的微分量，从而可得到函数的系
统误差：
f
f
f
y x1 x1 x2 x2 ... xn xn
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
88
s2
h 50mm, h 0.1mm
D= +h 4h
s 500mm, s 1mm
误差传递系数为:
f h

( s2 4h h
h)



s2 4h2
1




5002 4 502
1


24
f
( s2 h) 4h
h s
D
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
77
h s
D
h 50mm, h 0.1mm
s 500mm, s 1mm
解：由几何关系
s2 D= +h
4h
先不考虑测量值的系统误差，可求出在 h 50mm s 500mm 处的直径测量值
s2 D0 4h h 1300mm