零点个数是( )
A．0
B．1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C．2
D．3
【解析】 因为 f′(x)＝2xln 2＋3x2>0，所以函数 f(x)＝
2x＋x3－2 在(0,1)上递增，且 f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2
＋1－2＝1>0，所以有 1 个零点．
【答案】 B
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3．(2014·福建高考)函数 f(x)＝x22x－－26，＋xl≤n x0，，x>0 的零点 个数是________．
[对点练习]
(1)方程|x|＝cos x 在(－∞，＋∞)内( )
A．没有根
B．有且仅有一个根
C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
(2)(2013·重庆高考)若 a<b<c，则函数 f(x)＝(x－a)·(x－b)
＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内
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【解析】 当 x≤0 时，令 x2－2＝0，解得 x＝－ 2(正根 舍去)，
所以在(－∞，0]上有一个零点． 当 x>0 时，f′(x)＝2＋1x>0 恒成立，所以 f(x)在(0，＋∞) 上是增函数．又因为 f(2) ＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0， f(2)·f(3)<0，所以 f(x)在(2,3)内有一个零点． 综上，函数 f(x)的零点个数为 2. 【答案】 2
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(2)函数 f(x)的零点个数即为函数 y＝|log0.5x|与 y＝21x图象 的交点个数．在同一坐标系中作出函数 y＝|log0.5x|与 y＝21x的 图象，如图，由图易知有 2 个交点．
【答案】 (1)D (2)B
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1．确定函数 f(x)零点所在区间的方法 (1)解方程法：当对应方程 f(x)＝0 易解时，可先解方程， 再看解得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区 间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有 f(a)·f(b)<0.若有，则 函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给 定区间上是否有交点来判断．
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A.－94，－2∪0，12 B.－141，－2∪0，12 C.－94，－2∪0，23 D.－141，－2∪0，23 【思路点拨】 作出 f(x)的图象，根据题意，用数形结合 法解答．
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(2)(2013·天津高考)函数 f(x)＝2x|log0.5x|－1 的零点个数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
【思路点拨】 (1)求函数 g(x)＝f(x)－x＋3 的零点等价于
求方程 f(x)＝－3＋x 的解，确定 f(x)后，解方程即可．
(2)转化为求函数 y＝|log0.5x|与 y＝21x图象交点个数问题解
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【答案】 (1)C (2)A
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考向二 函数零点的应用 [典例剖析]
【例 2】 (2014·重庆高考)已知函数 f(x)＝ x＋1 1－3，x∈－1，0]， 且 g(x)＝f(x)－mx－m 在(－1,1]内 x，x∈0，1]， 有且仅有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是( )
－4x＋4 的图象的交点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
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【解析】 g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2， 在同一平面直角坐标系内画出函数 f(x)＝ln x 与 g(x)＝(x－2)2 的图象 (如图)．由图可得两个函数的 图象有 2 个交点．
【答案】 C
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2．(2012·天津高考)函数 f(x)＝2x＋x3－2 在区间(0,1)内的
第八节 函数与方程
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考纲要求：1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与 方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2. 根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
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[基础真题体验]
考查角度[函数的零点]
1．(2013·湖南高考)函数 f(x)＝ln x 的图象与函数 g(x)＝x2
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2．确定方程 f(x)＝g(x)在区间[a，b]上根的个数的方法 (1)解方程法：当对应方程 f(x)＝g(x)易解时，可先解方程， 看求得的根是否落在区间[a，b]上再判断． (2)数形结合法：通过画函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的图象，观 察其在区间[a，b]上交点个数来判断．
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B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 精品课件
【解析】 (1)如图所示，由图象可得两函数图象有两个 交点，故方程有且仅有两个根，故答案为 C.
(2)∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)， ∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c －b)， ∵a<b<c，∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0， ∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
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[命题规律预测] 从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是 命题 高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中 规律 等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方 程的思想． 预测 2016 年高考仍以考查函数的零点、方程的根和两 考向 函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目 预测 有求零点的个数及取值范围、利用函数的零点求解参数 等.
答．
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【解析】 (1)令 x<0，则－x>0，所以 f(x)＝－f(－x)＝－ [(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x.
求函数 g(x)＝f(x)－x＋3 的零点等价于求方程 f(x)＝－3 ＋x 的解．
当 x≥0 时，x2－3x＝－3＋x，解得 x1＝3，x2＝1； 当 x<0 时，－x2－3x＝－3＋x，解得 x3＝－2－ 7.故选 D.
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考向一 函数零点的求解与判断
[典例剖析]
【例 1】 (1)(2014·湖北高考)已知 f(x)是定义在 R 上的奇
函数，当 x≥0 时，f(x)＝x2－3x，则函数 g(x)＝f(x)－x＋3 的
零点的集合为( )
A．{1,3}
B．{－3，－1,1,3}
C．{2－ 7，1,3}
D．{－2－ 7，1,3}