模值条件
k
*
=
Õ
n
| s - pi | |s - z
j
Õ
i =1 m j =1
|
7.1.3. 零度根轨迹标准形式
Õ (s - p )
i =1 i
7.2.1 阻尼比对根轨的影响
nR
例：系统开环传递函数为： G ( s ) = 结论: 固有角频wn不变的条件下:
7.2.2 附加开环零点对根轨的影响
2 wn ( s + b) 例：系统开环传递函数为： G ( s ) = s ( s + 2xwn )
3 margin(G)
8.3.4 nichols
7.5.5 时间延迟环节的根轨迹
将延迟环节用有理传函来近似处理
7.5.6 基于根轨迹的系统设计工具 rltool 7.6 作业
7.1 已知系统的开环传递函数： （1） G ( S ) = （2） G ( S ) =
K S ( S + 2 S + 2)( S 2 + 6 S + 13)
2
请绘出其根轨迹曲线，并得出在单位负反馈下使系统闭环稳定的K值范围。 7.2 已知系统的开环传递函数：
结论: 附加开环零点以后,根轨向左偏移,附加开环零点越靠近原点,偏移越 显著.
U
eg
is
2 wn s ( s + 2xwn )
7.2 二阶系统的根轨迹分析
阻尼比 x - -> 根轨左移
te
re
G(S ) H (S ) = K
* j =1 n
j
=1
d
Õ (s - z )
m
7.2.3 附加开环极点对根轨的影响
K ( S - 5)( S + 4) S ( S + 1)( S + 3)
te
（3） G ( S )
=
K (0.05S + 1) S (0.0714S + 1)(0.0125S 2 + 0.1S + 1)
re
K ( S + 12) ( S + 1)( S + 12 S + 100)( S + 10)
K*=∞
0<=K<=Kd时,系统为几个惯性环节的串联; Kd<K<Kc时,系统为一个惯性环节和一个二阶欠阻尼振荡环节的串联; 3 .在保证闭环系统稳定的前提下, 根据设计要求确定开环根轨增益. 4 .用feedback函数建立系统的闭环模型,再用step函数求取系统的阶跃响 应并分析其动态响应参数:超调量m,过渡时间ts,上升时间tr等.
7.4.4 系统分析与估算
分析思路 : 上图是某一系统的根轨迹图,
1 . 用rlocfind函数可找出Kd,Kc点及其所对应的极点组. 2 . 可分析 : 0<=K<Kc时,系统稳定 Kc<=K时,系统不稳定
U
nR
eg
is
te
* kd
实轴分离点处的根轨增益
re
k c*
与虚轴相交处的根轨增益
d
K* = 0
生成n个元素的行向量x ,它的元素在a和b间成线性
生成有个n元素的对数等分向量x, , x(n)=10^b
x(1)=10^a
8.3 MATLAB 的频域分析工具 9.3.1 Bode
功能 : 计算并绘制Bode图 调用格式 : 1
[ mag , pha ] = bode ( G , w ) G W 系统模型
eg
频率分析法主要包括三种方法 :
is
系统的频率特性与传递函数的关系 : G ( jw ) = G ( s ) |s = jw
te
即 ÐG ( jw ) = f 2 (w )
re
的函数.即 | G ( jw ) |= f1 (w )
d
3 .频域法的性能指标 相角裕度: γ 幅值裕度: h 注意 : 这两个参数除了表征系统的稳定程度外,还与系统的动态性能指标 间有着相应的关系. 如: 45-70度
2
d
8 线性系统的频域分析
频域分析法是应用频率特性研究控制系统的一种经典方法.采用这种方法可 以直观地表达出系统的频率特性,分析方法比较简单,物理概念比较明确.
8.1 频率分析的基本知识 8.1.1 .基本概念
1 系统的频率特性 : 幅频特性: 系统输出信号稳态分量的幅值与输入正弦信号的幅值比是频率w
S ( S + 4)( S 2 + 4 S + 20)
功能 : 在连续系统的根轨图上绘制出阻尼和自然频率网格 格式 : sgrid(‘new’) 该函数先清屏, 再绘制网格,并设置成hold on ,使后续绘 图命令绘制在网格上.典型用法 : sgrid (‘new’) rlocus ( G ) 或 pzmap ( G ) sgrid ( z , wn )
根轨方程的标准形式
U
is
Õ (- Z )
i
K * ( S - Z1 )...( S - Z m ) G(S ) H (S ) = g S (S - P 1 )...( S - P n -g )
Õ (- P )
j j =1
i =1 n -g
G(S ) H (S ) = K
* j =1 n i =1
Õ (s - z )
j i
Õ (s - p )
te
K*
m
re
= -1
d
K (t 1 S + 1)...(t m S + 1) S g (T1 S + 1)...(Tn -g S + 1)
相角条件(确定根轨的充要条件)
å Ð(s - z j ) - å Ð(s - pi ) = (2k + 1)p
j =1 i =1
m
n
U
nR
开环系统的LTI对象模型 用户选择的增益向量 根轨各点构成的复数矩阵
eg
is
te
re
格式 :
[ p , z ]=pzmap ( G )
d
功能 : 绘制系统的零极点图
用向量p指定期望的极点位置,并计算这些位置上的根轨迹增益
G(S ) = G(S ) =
7.3.4 sgrid
1 S ( S + 1)( S + 2) 1
7.4.5 时间延迟环节的根轨迹
直接求取带有时间延迟环节的系统的根轨迹的根的精确解是相当困难的,我 们用高阶pade近似取代时间延迟,绘制出系统的根轨.
界面说明
P : 被控对象 H : 传感器动态特性
F : 前置滤波器 K : 补偿器模型
7.5 根轨迹小结 7.5.1 基本概念
根轨迹法
7.5.2 阶系统的根轨迹分析
2 .Nyquist 稳定性判据 思路 : 根据开环幅相曲线判断闭环系统的稳定性 ( 1 ) ( 2 ) 根据Nyquist曲线 根据Bode图
U
根据单位反馈系统的开环对数幅频和相频曲线确定闭环对数幅频和相频曲
nR
20 lg A(w1 ) ü Nichols ì20 lg M (w1 ) ®í ý ¾¾¾ f (w1 ) þ îa (w1 )
相频特性 系统输出信号的稳态分量对输入正弦信号的 相移是频率w的函数.
ü Bode图 (使用广泛)：对数幅频曲线 、对数相频曲线 ü Nyquist图：(幅相频率特性曲线) ü Nichols图：等M线,等α线 . Nichols的用法 :
线.即开环对数幅频,相频曲线 -> 闭环对数幅频,相频曲线
w = w1 时
8.3.2 nyquist
功能 : 计算并绘制nyquist曲线 调用格式: 1 [ rx , ry ] = nyquist ( G , w )
eg
通常用logspace来生成对数间隔的频率向量
is
单位:角度
te
re
d
rx ry
nyquist阵列的实部 nyquist阵列的虚部
注意 : rx,ry也为三维矩阵,通常需要将其转化为一维矩阵,格式同1. 2 3 [ rx , ry , w ] = nyquist ( G ) nyquist ( G )
指定的频率点构成的向量,
mag pha
nR
系统的幅值向量(此处未求其dB值) 系统的相角向量
矩阵,转化方式 : 2 3
U
注意 : mag,pha为三维矩阵,用plot指令绘图时需要将其转化为一维 x=mag(:) ;y=pha(:) ;
[ mag , pha ] = bode ( G ) bode ( G )
7.4.1 基本概念
主导极点 :离虚轴最近,且其旁边又无零点的极点. 主导极点法 :采用主导极点代替系统全部闭环极点来近似估算系统性能指 标的方法. 工程实践中常采用主导极点的概念对高阶系统进行近似分析. 偶极子 : 若闭环零,极点相距很近,则这样的闭环零,极点对称为偶极子.
7.4.2 . 欠阻尼二阶系统的特征参数
例：系统开环传递函数为： G ( s ) =
2 wn s ( s + 2xwn )( s + a )
结论: 附加开环极点后,系统的根轨向右偏移,且开环极点越靠近原点偏移 越显著.
7.3 绘制根轨迹的 MATLAB 工具 7.3.1 pzmap
pzmap ( G )
7.3.2 rlocus
功能 : 求系统的根轨迹 . 格式 :
8.3.3. margin
功能 : 计算模型的幅值裕度和相角裕度 调用格式 : 1 [ Gm , Pm , Wcg , Wcp ] = margin ( G ) Gm , Wcg Pm , Wcp 模型G的幅值裕度、系统截至频率 模型G的相角裕度、相角交接频率