2
i =1
∑
( y 0 -K 1N ti -y i
实
2
( 11)
求参数 K 1N 的问题转化为求 I ( K 1N ) 的最 小值点的问 题 , 即求 K 1N 使得
n
( 7 -1)
I( K
＊ 1N
y 0 -K 1N ti )- y i = min ∑( K
1 N i =1
实
2
根据可微函数取极小值的必要条件 , 则 d I( K1N) dK 1N K
1 数学模型的建立
若把一个水库( 湖泊) 水体视为一个完全混合反应 器 , 水流进入该系统后就立即完全分散到整个系统 , 其中 各水团是完全混合均匀的 , 具备这种情况的水库( 湖泊) 称为完全混合型水库( 湖泊) 。 水库中氮的存在形式以 三态氮为主 , 在绝大多数的实际情况中 , 有机氮向无机氮 的转化可以不予考虑 , 反硝化脱氮反应也可忽略不计 。 显然 , 混合型水库( 湖泊) “ 三氮” 模型的解 , 是反映 “ 三氮” 浓度平均意义下的变化规律 , 这对了解水库“ 三 氮” 污染情况是很有意义的 。 根据“ 三氮” 机制分析 , 影 响迁移转化的主要因素为入库和出库的流量 、“ 三氮” 转移的化学动力学作用 。 根据水库大量试验可知“ 三 氮” 转移符合一级化学动力学 ,即 d CN1 =-K 1N CN1 d t 化动 d CN2 dt d CN3 dt
dτ
∫ ∫
0
τ QI ( τ ) CIN1 ( τ ) ∫ 0 +K 1N CN1 ( τ )e V τ QI ( τ ) CIN1 ( τ ) ∫ 0 +K 2N CN2 ( τ )e V
( 4 -2) ( 4 -3)
0 C N3 ( t)= e ∫
-
t
Q( τ ) K V + 1N
dτ
Q( z) K V + 1N
n i =1 ＊
= K 1N =0
1N
＊
( 12)
y 0 -K 1N ti )- y i 即 :∑ (
n n ＊ 2 i =1
实
( -t i )= 0
n i =1 n i =1
- ∑ y 0 ti +K 1 N
i =1 n ＊ i =1
∑ t i + ∑ y i ti = 0
n
所以 , K 1N =
Q I C IN1 V C N1 = Q = Q K1 N + V K 1N + V V
( 61)
2005 年第 2 期
水文地质工程地质
· 37 ·
CN2 =
Q I C IN2 +K 1 NCN1 V V K 2 N +Q V Q I C IN3 V +K 2N CN2 Q V
( 62)
化动 化动 [ 2 , 3] [ 1]
根据质量守恒定律 , 可得“ 三氮 ” 迁移转化的混合 型水库的数学模型为 : d C N1 d CNi V d t =( Q I CI Ni -QCNi )+ V dt CNi
t= 0
( 2)
= C , i =1 , 2 , 3
3
0 N
式中 : V— — —水库水体体积( m) ; 3 QI — — —入库流量( m s) ; Q— — —出库流量( m s) ; C INi ( i =1 , 2 , 3) — — —入 库 NH 4 N , NO2 N , NO3 N 浓度( g m) ; + C Ni ( i= 1 , 2 , 3) — — —出库 NH 4 N , NO2 N , NO3 N 浓度( gm) 。 将方程组( 1) 代入( 2) 式 , 则得 : d C N1 ( t ) Q I CIN1 -QCN1 = -K 1NCN1 dt V
y = y 0 -K 1N t 若根据实验得到如下一组数据 :
表 1 计算 K 1 N 所需项目 Table 1 Items needed in computing K 1 N
( 10)
CN3 =
( 63)
时间( d) t0 t1 t2 tn
+ NH 4 -N CN
1
y =lnCN ( t)
-
4 “ 三氮” 转移速率常数的确定
( 1) 根据一级化学动力学规律确定“ 三氮” 转移速 率常数
[ 3 , 4]
: NH4 N 的一级氧化反应为 : d C N1
+
=-K 1N CN1 ( 8) dt + 式中 : K 1N — — —NH 4 N 转化为 NO2 N 的反应速率常数 ( 1 d) 。 由方程( 8) , 可得到 NH 4 N 随时间的变化规律为 : C N1 ( t)= C N1 exp( -K 1Nt ) 式中 : C
DO I : 10 . 16030 / j. cnki . issn . 1000 3665 . 2005 . 02 . 006
2005 年第 2 期 水文地质工程地质 · 35 ·
理想条件下混合型水库( 湖泊) “ 三氮” 迁移转化数学模型及其解
计有权 , 王鹤名 , 钟凤远
1 2 2
[ 1]
表达式( 41) ～( 4 -3) 可得到简化 。 只要将( 51) ～( 5 -4) 代入( 4 -1) ～( 4 -3) , 运用定积分性质 , 容 易得到此种情况下混合型水库“ 三氮” 浓度的解析表达 式 , 即此种情况水库平均意义下的“ 三氮” 浓度的计算 公式 。 Q I 、Q 图像可以分别用图 1 、 图 2 表示 , V 和 C INi ( i= 1 , 2 , 3) 的图像完全类似不再重述 。
dz 0
Q( τ ) + K V 1N
dτ
t
∫
0 t 0 t
QI ( τ ) CIN1 ( τ ) τ ∫ 0 e V
Q( z) + K V 1N
d τ+C N1
Q( z) + K V 1N dz
( 4 -1) d τ+C N2 d τ+C N3
0 0
0 C N2 ( t)= e ∫
-
t
Q( τ ) + K V 1N
3 + -
CN ( tn )
1
构造目标函数
n
J( K 1N )=
＊
示水库平均水深( m) ; A 表示水库水平面积( m) 。 则 V ≈ AH , 可得“ 三氮” 如下近似表达式 : L1 C N1 = H( K 1N + q) CN2 = = L2 H( K 2N L2 H( K 2N K 1N CN1 + + q) ( K 2 N + q) K 1N L 1 + + q) H( K 2N + q) ( K 1 N + q) ( 7 -2) K 2N C N 2 L3 CN3 = Hq + q = L3 K 2N L2 K 1N L 1 + + Hq Hq K 2N + q ( K 2N + q) ( K 1N +q) ( 7 -3) 从( 71) ～( 7 -3) 式可知 , 如果已知 Li ( i =1 , 2 , 3) , H , K iN ( i= 1 , 2) 和 q , 则可计算出水体平均意义下 的“ 三氮” 浓度值 。
( 1. 吉林大学地球探测科学与技术学院 , 长春 130026 ; 2. 吉林大学数学研究所 , 长春 130012)
摘要 :建立了理想条件下混合型水库( 湖泊) “ 三氮” 迁移 转化数 学模 型 , 并给出 了入 库和 出库变 流量 情况的 解析 解 , 即 “ 三氮” 迁移转化规律的解析表达式 , 根据解析表达式可 以计算任 何时刻“ 三氮” 的变化情 况 。 给出了“ 三氮” 转 移速率 常 数的 计算公式 , 根据给出的“ 三氮” 表达式可以预测水库( 湖泊) 水体“ 三氮” 的变化规律 , 为防治水库富营养 化和生活污 染 提供了科学依据 。 关键词 : 混合型水库 ; “ 三氮” 模型 ; 解析解 中图分类号 : P641. 2 文献标识码 : A 文章编号 : 1000 -3665( 2005) 02 -0035 -04
∑ y 0 ti - ∑ y i ti ∑ ti
i= 1 + 2
( 13)
由于目标函数 I ( K 1N ) 只有一个极小点 , 所以该极 小点就是使目标函数取最小值的点 。 参考符合一级化 学动力学的 NH4 N , NO2 N , NO3 N 浓度 随时间变化 的曲线( 图 3) , 由其中 NO2 N 浓度曲线可知 , 当 t =t c
1 1 1 1
实测 CN ( t 0) CN ( t 1) CN ( t 2)
2 1 1
y 0 =lnCN ( t 0) y 1 =lnCN ( t 1) y 2 =lnCN ( t 2) y n =lnCN ( t n)
1

Q i C INi 2 若令 Li = ( g m 年) ( i= 1 , 2 , 3) , 表示水库 A ( 湖泊) 单位面积负荷“ 三氮” 的浓 度 , 即 L1 , L2 , L 3 分 别表 示 水库 ( 湖 泊) 单 位 面积 负 荷 NH4 -N , NO2 N, NO -N 的浓度 ; q =Q( 1 年) 表示水力冲刷速率 ; H表 V
3 3 + 3
= K 1 NCN1 -K 2N CN2 =-K 2N CN2
3
( 1)
d C N2 ( t ) Q I C IN2 -QCN2 3) = +K 1NCN1 -K 2 NCN2 ( dt V d C N3 ( t ) Q I CIN3 -QCN3 = +K 2NCN2 dt V 初始条件 : C Ni ( t) t =0 =C Ni , i =1 , 2 , 3