第33卷第2期2008年3月测绘科学Science of Surveying and M app ingVol 133No 12Mar 1作者简介:陈刚(19712),男,湖北咸宁人,副教授,博士生,现从事“3S ”技术在资源与环境监测中的应用研究。

E 2mail:whcg@vi p 1sina 1com 收稿日期:2006211216基金项目:中国地质大学出国留学人员科研基金项目资助(C UG LX0505082)GPS 变形监测的位移显著性检验方法研究陈　刚①,胡友健①,赵　斌①,Kefei Zhang ②,梁新美①(①中国地质大学测绘工程系,武汉　430074;②School of Mathe matical and Geos patial Sciences,R M I T University,Melbourne 3001,V ict oria,Australia )【摘　要】目前普遍采用的位移显著性检验方法,是人为地将客观上的空间位移问题转化为地方(局部)坐标系中的1维或2维位移问题来进行检验,既使位移检验在理论上的严密性受到损害,又使GPS 能够在协议地球坐标系(I TRF 或W GS 284)中同时精确测定空间3维位移的优越性得不到充分利用。

由于在位移转换过程中会引入误差,可能导致位移显著性检验结果不可靠,尤其是当位移量小而坐标转换误差大时可靠性更低。

为了避免由于位移转换存在误差而影响位移显著性检验结果的可靠性,本文提出了用GPS 进行变形监测时,直接在I TRF 或W GS 284空间坐标参考框架下进行位移显著性检验的新方法—“变形误差椭球检验法”,严密地推导了有关理论公式,给出了具体的检验方法,并进行了实例计算和分析。

【关键词】GPS;变形监测;位移显著性检验;变形误差椭球【中图分类号】P258 【文献标识码】A 【文章编号】100922307(2008)022*******DO I:1013771/j 1issn 11009223071200810210321　位移显著性检验方法概述变形监测点的两期监测数据经过处理后求得的坐标差,究竟是位移量还是观测误差的反映,需要经过严密的检验分析才能判定。

目前广泛采用的位移显著性检验方法,可归纳为单点位移显著性检验、整体位移显著性检验和变形误差椭圆检验3种方法[1]。

单点位移显著性检验,目前广泛采用t 检验法。

该法是作统计量t =Δx /m ∧Δx (Δx 为两期监测的坐标差;m ∧Δx 为其中误差),选定显著性水平α,如果|t |>t α/2,认为位移显著,否则,认为点位稳定。

用于整体位移显著性检验的平均间隙法,是首先利用两期平差的全部坐标差Δx 及其权阵P Δx ,计算单位权中误差〗^m Δx 2=Δx TP Δx Δx /f Δx (f Δx 为Δx中独立量的个数),作统计量F =^m Δx 2/^m 20(m ∧0为母体单位权中误差)。

然后,选定显著性水平α,通过F 检验作出总体上位移是否显著的判断。

如果总体位移显著,然后再逐个找出位移显著的点。

变形误差椭圆法,是首先利用变形监测网两期平差后的坐标协因素和单位权中误差,作出每一个监测点的误差椭圆,取k 倍中误差作出极限误差椭圆。

然后,根据点的位移向量是否落在极限误差椭圆之内来判断位移是否显著。

上述各种位移显著性检验方法用于GPS 变形监测分析,都存在不足之处:①t 检验法和平均间隙法的检验过程和结果都不直观,且不能用于两期监测精度不同的情况下,而实际上,严格说来,任意两期监测都不可能是完全等精度的;②需要将监测点在I T RF 或W GS 284中的3维坐标转换到地方平面直角坐标系和高程系统中,由于坐标转换过程中会引入误差,这可能导致位移检验分析结果不可靠,尤其是当位移量小而坐标转换误差大时可靠性更低;③人为地将客观上的空间位移问题转化为1维或2维位移问题来进行检验,这就使位移检验的严密性受到损害,也使GPS 可以在I T RF 或W GS 284坐标框架下同时精确测定3维位移的优越性得不到充分利用。

因此,在GPS 变形监测中,采用“变形误差椭球检验法”,直接在I T RF 或W GS 284空间坐标参考框架下进行位移显著性检验,有其合理性和必要性。

2　“变形误差椭球检验法”211　变形误差椭球设GPS 变形监测网的两期监测数据处理后,求得某监测点在I TRF 或W GS 284坐标系中的坐标分别为X 1=X 1Y 1Z 1T X 2=X 2Y 2Z 2T 坐标协方差阵分别为D 1=D X 1X 1D X 1Y 1D X 1Z 1D X 1Y 1D Y 1Y 1D Y 1Z 1D X 1Z 1D Y 1Z 1D Z 1Z D 2=D X 2X 2D X 2Y 2D X 2Z 2D X 2Y 2D Y 2Y 2D Y 2Z 2D X 2Z 2D Y 2Z 2D Z 2Z 两期监测的坐标差及其协方差阵分别为ΔX =x 2-x 1y 2-y 1z 2-z 1　D ΔX ΔX =D Δx Δx D Δx Δy D Δx Δz D Δx Δy D Δy Δy D Δy Δz D Δx ΔzD Δy ΔzD Δz Δz=D 1+D 2 作协方差阵D ΔX ΔX 的特征方程:D ΔX ΔX -λI =D Δx Δx -λD Δx ΔyD Δx Δz D Δx Δy D Δy Δy -λD Δy Δz D Δx ΔzD Δy ΔzD Δz Δz -λ=0(1) 由式(1)得:λ3-I 1λ2+I 2λ-I 3=0(2)式中I 1=D Δx Δx +D Δy Δy +D Δz Δz ;I 2=D Δx Δx D Δx Δy D Δx ΔyD Δy Δy +D Δx Δx D Δx Δz D Δx Δz D Δz Δz+D Δy ΔyD Δy Δz D Δy Δz D Δz Δz;I 3=D Δx ΔxD Δx Δy D Δx Δz D Δx Δy D Δy Δy D Δy Δz D Δx ΔzD Δy ΔzD Δz Δz　第2期 陈　刚等　GPS 变形监测的位移显著性检验方法研究 这里所讨论的空间曲面为二次椭球面,其特征根都是实数[2]。

因此,解式(2)可得到3个实根λ1、λ2、λ3,它们分别为变形误差椭球的长半轴、中半轴和短半轴。

令X =x,y,z T 为与λ对应的特征向量,得特征向量方程为D ΔX ΔX -λI X =D Δx Δx -λD Δx Δy D Δx Δz D Δx Δy D Δy Δy -λD Δy Δz D Δx ΔzD Δy ΔzD Δz Δz -λxy z =0(3) 将解得的特征根λ代入上式,即可求得特征向量(x ,y ,z ),从而确定变形误差椭球的长轴、中轴和短轴的方向。

设椭球某轴线方向与坐标轴x 、y 、z 之间的夹角(称之为方向角)分别为α、β、γ,则其方向角可用下式计算:cosα=x x 2+y 2+z2;cosβ=y x 2+y 2+z2;cosγ=z x 2+y 2+z2(4) 如果将坐标轴x 、y 、z 分别旋转到与变形误差椭球的长轴、中轴和短轴重合,则在新坐标系x ′、y ′、z ′中,变形误差椭球的标准方程为x ′2/λ21+y ′2/λ22+z ′2/λ23=1(5)212　置信误差椭球由概率理论知,对于3个随机误差x 、y 、z ,由其确定的形变量误差为u ,如果x 2/λ21+y 2/λ22+z 2/λ23=u ≤c2(6) 则认为u 位于误差椭球之内或之上。

设随机误差x 、y 、z 的期望值为0,则u 服从χ2分布,其密度函数为[3]f (u )=u n 2-1e-12u /(2n2Γ(n2))　(0<u <∞)(7) 将自由度n =3代入上式得:f (u )=122Γ(1.5)ue -12u 于是,形变量误差u 落在误差椭球之上或之内的概率为P =P x 2λ21+y 2λ22+z 2λ23=u ≤c 2=122Γ(115)∫c 20ue 12u du(8) 令α=1-P ,则α为形变量误差u 落在误差椭球之外的概率。

对于任意给定的α,可由式(8)求得对应的c 值,从而确定一个相应的误差椭球,即是在置信水平α下的形变量的置信误差椭球。

置信误差椭球的长半轴、中半轴和短半轴λ′1、λ′2、λ′3的长度为前述变形误差椭球的半轴长度的c 倍,方向角与前述变形误差椭球相同。

式(8)中的被积函数不可积,用数值积分法求得概率P 与c 值的几组对应数值列入表1。

可见,形变量误差u 落在c =3的误差椭球之外的概率约为0103,此概率值与概率统计检验中经常取用的0101或0105的显著性水平很接近。

如果取α=0.03,则当两次数据处理求得变形监测点的空间位移矢量的终点落在c =3的置信误差椭球之外时,监测点位移显著;反之,则位移不显著。

表1　形变量误差u 落在误差椭球之内的概率p 与c 值之间的关系c 110115210215310315410415p011987014778017385018999019707019934019989019996213　任意方向位移的误差计算及其显著性检验利用上面导出的空间变形误差椭球和置信误差椭球的有关理论公式和计算方法,即可在3维空间进行位移显著性的检验与分析。

但是,空间误差椭球的计算和作图较为复杂。

当只需要对空间某一特定方向的位移显著性进行检验分析时,可以采用任意方向位移的误差计算及其显著性检验方法,从而使计算工作大为简化。

下面导出空间任意方向位移的误差计算公式及其显著性检验方法。

图1　空间任意方向确定示意图如图1所示,监测点在空间的任意一个位移方向ok ,可以用两个角度来确定:即该方向与Δz轴之间的夹角δ和其在平面ΔxoΔy 内的垂直投影ok ′与Δx 轴之间的夹角φ。

方向角φ的变化范围为0～360°;δ的变化范围为0～180°。

设监测点在平面ΔxoΔy 内的ok ′方向的位移真误差为d φ,在空间任意一个方向ok 的位移真误差为dδ,则根据坐标转换关系和误差传播定律,可推得在φ方向和δ方向的位移方差分别为D ΔφΔφ=D Δx Δx cos 2φ+D Δy Δy sin 2φ+D Δx Δy sin2φD ΔδΔδ=D Δz Δz cos 2φ+D ΔφΔφsin 2φ+D Δz Δφsin2φ(9) 式中:D Δz Δφ=DΔx Δy cos φ+D Δy Δz sin φ设监测点两期监测的坐标差为Δx 、Δy 、Δz ,其在3维空间的位移量为Δk =Δx 2+Δy 2+Δz 2(10) 为便于计算空间位移向量Δk 方向的位移误差,首先利用坐标差求出Δk 与Δz 轴之间的夹角δ及其在平面ΔxoΔy 上的垂直投影ok ′与Δx 轴之间的夹角φ,其计算公式为cos φ=Δx Δx 2+Δy 2;cosδ=ΔzΔx 2+Δy 2+Δz2(11)再将φ、δ的值代入式(9)中,即可求得空间位移向量Δk方向的位移误差D ΔδΔδ。