共轭复数
如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数， 则称为共轭复数 即：z a bi, z a bi(a, b R)互为共轭复数 性 质 ：1.互 为 共 轭 复 数 所 对 应 的点 关 于 实 轴 对 称
2. | z || z |
3.z1 z2 z1 z2 4. || z1 | | z2 ||| z1 z2 || z1 | | z2 |
例：判断对错： (1)z z z为 纯 虚 数 (2)z1 z2 R z1，z2互 为 共 轭 复 数
错误 错误
性质：若z为纯虚数，则z z 若z1, z2互为共轭复数，则z1 z2 R
例：根据下列条件，求复数z : z | z | 2 i
法一：设z a bi(a, b R) a bi | a bi | 2 i即a bi a2 b2 2 i
(1)z所对应的点表示以(0,2)为圆心，1为半径的圆 z所对应的点表示以(0,2)为圆心，1为半径的圆
(2)表示以(1,0), (1,0)为焦点，4为长轴的椭圆
4
例：已知x, y互为共轭复数，且(x y)2 3xyi 4 6i, 求x, y
x, y互为共轭复数 x y, xy R
( x y)2 4 x y 2


3
xy

6

xy 2
Re( x) 1
且xy | x |2 Im(x) | x |2 (Re(x))2 1
ax y0 由第二式得：a y x代入第一式，得： ( y Байду номын сангаас x)2 2( y x) 2xy 0
整理得：( x 1)2 ( y 1)2 2
轨迹是以(1,1)为圆心，2为半径的圆
复数的减法运算：
如果两个复数z1 a bi，z2 c di(a, b, c, d R)
复数的加法运算：
如果两个复数z1 a bi，z2 c di(a, b, c, d R) 则定义：z1 z2 (a c) (b d )i 容易验证：z1 z2 z2 z1 (z1 z2) z3 z1 (z2z3 )
复数的加法运算的几何意义：
例：若复数z满足 | z 3 4i | 1,则z所对应点的集合是 什么图形？
表示以(3,4)为圆心，1为半径的圆
例：满足下列条件的复数z对应的点的集合是什么图形？
(1) | z 2i | 1 (3) | z 5 | | z 5 | 8
(2) | z 1 | | z 1 | 4 (4) | z 2 || z 2i |
例 ： 若 复 数z对 应 点A， 说 出 下 列 复 数 模 的 几何 意 义 ： (1) | z 1 | (2) | z 2 i | (3) | z 2i | (4) | z 1 i | (1)表示A到点(1,0)的距离 (2)表示A到点(2,1)的距离 (3)表示A到点(0,2)的距离 (4)表示A到点(1,1)的距离
例：求证：一个复数z a bi(a, b R)是实数的充要 条件是z z 充分性 设复数z a bi(a, b R), 若z z,
即a bi a bi b 0 复 数z是 实 数 必要性
设复数z a bi(a, b R)是实数，则b 0 a bi a bi z z z z是复数z为实数的充要条件

a

a2 b2 2

b 1
法二：z 2 | z | i

a

3 4
b 1
z 3 i 4
| z |2 (2 | z |) 2 1 4 4 | z | | z |2 1 4 | z | 5 | z | 5
4 z 2 | z | i 3 i
x 1 i, y 1 i或x 1 i, y 1 i 或x 1 i, y 1 i或x 1 i, y 1 i
例 ： 已 知 关 于x的 方 程x2 (2 i) x 4ab (2a b)i 0
(a, b R)
则定义：z1 z2 (a c) (b d )i
复数的减法运算的几何意义：
| z1 z2 | 表 示 两 点Z1，Z2
的
距
离
，
也
表
示Z1
Z
的
2
模
z1
z1 z2
即| z1 z2 || (a c) (b d )i |
z2
(a c)2 (b d )2
整理得：(2a 1)2 (b 1)2 2
(2)把b x 2a代入(1)式得：x2 2x 4a( x 2a) 0 整理成关于a的方程得：8a2 4ax x2 2x 0
16x2 4 8 ( x2 2x) 0 x [4,0]
即两个复数的和对应两个向量的和, z1
符合向量加法的平行四边形法则
z1 z2 z2
例：已知实数a, x, y满足a2 (2 i)a 2xy (x y)i 0, 求点(x, y)的轨迹 原式 a2 2a 2 xy (a x y)i 0
a2 2a 2xy 0
(1)当 方 程 有 实 根 时 ， 求 点(a, b)的 轨 迹 方 程
（2） 求 实 根 的 范 围
(1)设
实
根
为x,
则
x
2 2x 4ab x 2a b
0(1) 0(2)
把x b 2a代入(1)式得：(b 2a)2 2(b 2a) 4ab 0