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通常使用的条件数, 有
(1) cond∞(A)=||A-1||||A||;
(2) A的谱条件数;
cond2 ( A)
A1 2
A 2
max ( AT A) . min ( AT A)
当A为对称矩阵时
cond2 ( A)
1 n
.
其中1, n为A的绝对值最大和绝对值最小的特征值.
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对于这样的方程组，不管用什么样的数值方法， 我们总难(甚至不可能)算出合理的(与真正精确解相差 不大的)解，像这样的方程组称为病态方程组.
定义1 如果矩阵A或常数项b 的微小变化(小扰动), 引起方程组Ax=b解的巨大变化, 则称此方程组为“病 态”方程组, 其系数矩阵 A 称为“病态”矩阵(相对于 方程组而言), 否则称方程组为“良态”方程组, A称为 “良态”矩阵.
3
13
A
max
1 i 3
j 1
aij
, 12
A1 1860
从而 cond ( A)
A
A1 2015,
所以A是病态的.
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||A-1||·||A||倍.
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(3) 现设x为Ax=b的精确解，当A有微小误差(小扰
动)A, 而b同时也有微小误差b(小扰动)时, 受扰解为
x+x, 则还可以推出相对误差估计式为
x
A A1
A b
x
1 A
A1
A
A
b
A
A
A1
A
A
b
b
.
A
1
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cond2(AB) =cond2(BA) =cond2(B).
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例2 求矩阵A的条件数，其中
A
1 2
1 3
1 3
1 4
1 4
1
5
1 4
1 5
1 6
解
由
A
1 2
1
3
1 3
1 4
1 4
1
5
得
A1
72
240
240 900
180
720
1 4
1 5
1 6
180 720 600
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第六节、误差分析
对线性方程组 Ax=b, 其中设A为非奇异矩阵, x为 方程组的精确解.
由于A和b元素是实验测量得到的, 或者是计算的
结果, 因此实际是A+A和b+b, 方程组变成了 (A+A)(x+x)=(b+b)
下面我们来研究A或b与x的关系，即误差分析.
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条件数的性质:
(1). 对任何非奇异矩阵, 都有condv(A) ≥1. 事实上
condv ( A)
A1 v
A v
A1 A v
I 1. v
(2). 设A为非奇异矩阵且c≠0(常数), 则
condv(cA) =condv(A).
(3). 如果A为正交矩阵, 则cond2(A) =1; 如果B为 非奇异矩阵, A为正交矩阵, 则
总之, 量||A-1||·||A||越小, 由A(或b或两者)的相对误 差引起的解的相对误差就越小; 量||A-1||·||A||越大, 解 的相对误差就可能越大. 所以量||A-1||·||A||事实上刻画 了解对原始数据变化的灵敏程度, 即刻画了方程组的 “病态”程度, 于是引进下述定义:
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(1) 现设A是精确的, x为Ax=b的精确解，当方程
组右端有误差b, 受扰解为 x+x, 则
A(x+x)=b+b, Ax=b, x=A-1b,
||x||≤||A-1||·||b||.
（1）
由Ax=b有 ||b||≤||A|| ||x||.
于是得
x A1
A
b
.
x
b
1 A (b 0).（2） xb
对两组不同的常数项
b (b1 , b2 , b3 )T , b% (b1 , b2 , b3 )T 它们的差只有 b b% b ( , , )T
但所得解的误差却是
x x% x (492 , 1860 , 1500 )T 即两组不同的常数项分量误差不过是 ,
可是解的分量误差却高达 1860 .
定义2 设A是非奇异矩阵, 称数
condv(A) =||A-1||v||A||v (v=1,2或)
为矩阵A的条件数 . 由此看出矩阵的条件数与范数有关.
矩阵的条件数是一个十分重要的概念. 由上面讨论知,当A 的条件数相对的大, 即cond(A)>>1时,则方程组是“病态”的 (即A是“病态”矩阵, 或者说A是坏条件的, 相对于方程组), 当 A的条件数相对的小, 则方程组是“良态”的(或者说A是好条 件的). 注意, 方程组病态性质是方程组本身的特性. A的条件数 越大, 方程组的病态程度越严重, 也就越难用一般的计算方法 求得比较准确的解.
x= -(I+A-1A)-1A-1((A)
（P65定理7）
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设||A-1||·||A||<1, 即得
A1
A
A
x
A A1
x
1 A1
A
A
A
A
A. A
A 1
如果A充分小, 且在条件||A-1||·||A||<1下, 那么此 式说明矩阵A的相对误差||A||/||A||在解x中也可能放大
首先考察一个例子.
例1 设有方程组Ax=b，其中
A
1 2
1 3
1 3
1 4
1 4
1
5
1 4
1 5
1 6
b1
b
b2
b3
求的精确解(无任何误差)为
x1 72b1 240b2 180b3
x2
240b1
900b2
720b3
x3
180b1
720b2
600b3
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应该注意, 矩阵的“病态”性质是矩阵本身的特 性,下面我们希望找出刻画矩阵“病态”性质的量. 设 有方程组
Ax=b,
其中A为非奇异矩阵, x为方程组的精确解. 以下我们
分别研究方程组的常数项b (和A)(即先假设A＝0，再 假设b＝0)的微小误差(小扰动)时对解的影响.
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即解x的相对误
差的上界是b的相对
误差的||A-1|| ||A||倍.
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(2) 现设b是精确的, x为Ax=b的精确解，当A有微
小误差(小扰动)A, 受扰解为 x+x, 则
(A+A)(x+x)=b, 有(A+A)x= -(A)x.
而 (A+A)=A(I+A-1A).
由3.6节定理7知, ||A-1A||<1时, (I+A-1A)-1存在. 有