2020-2021学年广东省揭阳市普宁市高一（上）期中数学试卷一、单项选择题（8小题，每小题5分，共40分；在每小题提供的4个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）若集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∩N等于（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣2x+1≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣2x+1≤0B．∃x∈R，x2﹣2x+1≥0C．∃x∈R，x2﹣2x+1＜0D．∀x∈R，x2﹣2x+1＜03．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝2x2﹣x，则f（1）＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．34．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）若命题p：∀x∈R，x2﹣2x+m≠0是真命题，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m＞1C．m＜1D．m≤16．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝x+1B．y＝﹣x2C．y＝D．y＝x|x|7．（5分）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）A．B．C．D．8．（5分）当函数f（x）＝取得最小值时，x＝（）A．B．2C．﹣6D．2﹣6二、不定项选择题（4小题，每小题5分，共20分；在每小题提供的4个选项中，有不少于一项符合题目要求）9．（5分）已知集合M＝{x∈R|x≤2+}，a＝π，有下列四个式子，其中正确的是（）A．a∈M B．{a}⊆M C．a⊆M D．{a}∈M10．（5分）下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝|2x|B．f（x）＝x C．f（x）＝D．f（x）＝x﹣|x| 11．（5分）已知幂函数f（x）＝k•x a，下列说法正确的有（）A．k＝1B．如果f（x）是偶函数，则a一定是偶数C．f（x）的图象恒经过定点（0，0）和（1，1）D．f（x）的图象与x轴正半轴没有交点12．（5分）已知f（x）＝ax2+bx+c，不等式f（x）＞0的解集是{x|1＜x＜3}，下列说法正确的是（）A．a＞0B．a+b+c＝0C．关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集是{x|}D．如果f（m）＞0，则f（m+2）＜0三、填空题（4小题，每小题5分，共20分；第16题第一空2分，第二空3分）13．（5分）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为．14．（5分）函数y＝的定义域是．15．（5分）已知，求t＝4a﹣2b的取值范围．16．（5分）设函数f（x）＝，则f[]＝；如果f（a）＝1，则a＝．四、解答题（6道大题，共70分）17．（10分）设f（x）为定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，y＝3x；当x＞1时，y＝﹣x2+4x．直线y＝3x与抛物线y＝﹣x2+4x的一个交点为A，如图所示．（1）当x＞0时，写出f（x）的递增区间（不需要证明）；（2）在答题卡给定的坐标纸中补全f（x）的图象，并根据图象写出不等式f（x）＜0的解集．18．（12分）已知集合A＝{﹣4，2m﹣1，m2}，B＝{m﹣5，1﹣m，9}，若A∩B＝{9}，求实数m的值．19．（12分）（1）已知x＜2，求的最大值；（2）已知x，y均为正实数，若x+4y+xy＝5，求xy的最大值．20．（12分）已知函数f（x）＝，f（x）为R上的奇函数且f（1）＝．（1）求a，b；（2）判断f（x）在[1，+∞）上单调性，并证明．21．（12分）已知a∈R，奇函数f（x）与偶函数g（x）的定义域均为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且满足f（x）﹣g（x）＝x+﹣2．（1）分别求f（x）和g（x）的解析式；（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）+g（x）＞0恒成立，实数a的取值范围．22．（12分）为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x 万元满足：p＝3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本10+2p 万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．2020-2021学年广东省揭阳市普宁市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（8小题，每小题5分，共40分；在每小题提供的4个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）若集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∩N等于（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}【分析】根据集合M和N，由交集的定义可知找出两集合的公共元素，即可得到两集合的交集．【解答】解：由集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，得到M∩N＝{0，1}．故选：A．【点评】此题考查了交集的运算，要求学生理解交集即为两集合的公共元素，是一道基础题．2．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣2x+1≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣2x+1≤0B．∃x∈R，x2﹣2x+1≥0C．∃x∈R，x2﹣2x+1＜0D．∀x∈R，x2﹣2x+1＜0【分析】因为命题“∀x∈R，x2﹣2x+1≥0”为全称命题，其否定为特称命题，将“∀”改为“∃”，“≥“改为“＜”即可．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣2x+1≥0”为全称命题，∴命题的否定为：∃x∈R，x2﹣2x+1＜0，故选：C．【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题，注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．3．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝2x2﹣x，则f（1）＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝2x2﹣x，∴f（1）＝f（﹣1）＝2•（﹣1）2﹣（﹣1）＝2+1＝3，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．4．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于容易题．5．（5分）若命题p：∀x∈R，x2﹣2x+m≠0是真命题，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m＞1C．m＜1D．m≤1【分析】命题p：∀x∈R，x2﹣2x+m≠0是真命题，则m≠﹣（x2﹣2x），利用二次函数的单调性求出其最大值即可得出．【解答】解：命题p：∀x∈R，x2﹣2x+m≠0是真命题，则m≠﹣（x2﹣2x），∵﹣（x2﹣2x）＝﹣（x﹣1）2+1≤1，∴m＞1．∴实数m的取值范围是（1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝x+1B．y＝﹣x2C．y＝D．y＝x|x|【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．y＝x+1为非奇非偶函数，不满足条件．B．y＝﹣x2是偶函数，不满足条件．C．y＝是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．D．设f（x）＝x|x|，则f（﹣x）＝﹣x|x|＝﹣f（x），则函数为奇函数，当x＞0时，y＝x|x|＝x2，此时为增函数，当x≤0时，y＝x|x|＝﹣x2，此时为增函数，综上在R上函数为增函数．故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性，比较基础．7．（5分）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）A．B．C．D．【分析】解答本题，可先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项【解答】解：考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C 正确，B不正确．故选：C．【点评】本题考查函数的表示方法﹣﹣图象法，正确解答本题关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征8．（5分）当函数f（x）＝取得最小值时，x＝（）A．B．2C．﹣6D．2﹣6【分析】当x≤1时，f（x）＝x2≥0；当x＞1时，利用基本不等式求得最小值，可得x 的取值．【解答】解：当x≤1时，f（x）＝x2≥0；当x＞1时，f（x）＝x+﹣6，当且仅当x＝，即x＝时等号成立．∵＜0，∴函数f（x）＝取得最小值为，对应的x值为．故选：A．【点评】本题考查分段函数最值的求法，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．二、不定项选择题（4小题，每小题5分，共20分；在每小题提供的4个选项中，有不少于一项符合题目要求）9．（5分）已知集合M＝{x∈R|x≤2+}，a＝π，有下列四个式子，其中正确的是（）A．a∈M B．{a}⊆M C．a⊆M D．{a}∈M【分析】根据π的估值以及2+的估值即可判断a与M的关系以及集合{a}与M的关系．【解答】解：因为π≈3.14，而2+≈3.414＞3.14，所以a∈M，A正确，再由集合的包含关系可得：{a}⊆M，B正确，则C，D错误，故选：AB．【点评】本题考查了元素与集合的关系以及集合间的包含关系，属于基础题．10．（5分）下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝|2x|B．f（x）＝x C．f（x）＝D．f（x）＝x﹣|x|【分析】利用已知条件，代入选项函数的解析式，验证即可．【解答】解：f（x）＝|2x|，f（2x）＝4|x|，2f（x）＝4|x|，所以A正确；f（x）＝x，满足f（2x）＝2f（x），所以B正确；f（x）＝，f（2x）＝，2f（x）＝2，不满足f（2x）＝2f（x），所以C不正确；f（x）＝x﹣|x|，f（2x）＝2x﹣2|x|，2f（x）＝2x﹣2|x|，所以D正确；故选：ABD．【点评】本题考查函数的应用，解析式的求法，是基本知识的考查．11．（5分）已知幂函数f（x）＝k•x a，下列说法正确的有（）A．k＝1B．如果f（x）是偶函数，则a一定是偶数C．f（x）的图象恒经过定点（0，0）和（1，1）D．f（x）的图象与x轴正半轴没有交点【分析】根据幂函数的定义以及性质分别判断即可．【解答】解：对于A：根据幂函数的定义得；k＝1，故A正确；对于B：f（x）＝x a是偶函数，则f（﹣x）＝（﹣x）a＝x a，则a是偶数，故B正确；对于C：f（x）＝x a恒过（1，1），（a＜0时，不过（0，0）），故C错误；对于D：令f（x）＝x a＝0，不成立，即与x正半轴不相交，故D正确；故选：ABD．【点评】本题考查了幂函数的定义以及性质，考查转化思想，是一道基础题．12．（5分）已知f（x）＝ax2+bx+c，不等式f（x）＞0的解集是{x|1＜x＜3}，下列说法正确的是（）A．a＞0B．a+b+c＝0C．关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集是{x|}D．如果f（m）＞0，则f（m+2）＜0【分析】将不等式转化为方程，再利用图象即可求解．【解答】解：A：ax2+bx+c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，则a＜0，不正确．B：由题意知ax2+bx+c＝0的解是x＝1，则a+b+c＝0，正确．C：由题意知ax2+bx+c＝0的解是x＝1，3，则由韦达定理得，，即cx2+bx+a＞0变为，即3x2﹣4x+1＜0，∴，正确．D：如果f（m）＞0，则1＜m＜3，∴3＜m+2＜5，则f（m+2）＜0，正确．故选：BCD．【点评】本题主要考察一元二次方程二次函数与一元二次不等式的解法之间的关系．三、填空题（4小题，每小题5分，共20分；第16题第一空2分，第二空3分）13．（5分）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12．【分析】设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8＝30，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．【解答】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8＝30，解得x＝3，所以15﹣x＝12，即所求人数为12人，故答案为：12．【点评】本题考查了集合的混合运算，属于应用题，关键是运用集合的知识求解实际问题．14．（5分）函数y＝的定义域是[﹣1，0）∪（0，+∞）．【分析】根据影响定义域的因素知，分母不为零，且被开方式非负，即，解此不等式组即可求得函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，须，解得x≥﹣1且x≠0∴函数的定义域是[﹣1，0）∪（0，+∞）．故答案为[﹣1，0）∪（0，+∞）．【点评】此题是个基础题．考查函数定义域及其求法，注意影响函数定义域的因素有：分母不等于零，偶次方根的被开方式非负，对数的真数大于零等．15．（5分）已知，求t＝4a﹣2b的取值范围[5，10]．【分析】设出t＝m（a﹣b）+n（a+b）＝4a﹣2b，根据对应系数相等，写出关于m，n的方程，解出m，n的值，根据不等式的基本性质得到要求的结果．【解答】解：设t＝m（a﹣b）+n（a+b）＝4a﹣2b则m+n＝4，n﹣m＝﹣2∴m＝3，n＝1t＝3（a﹣b）+1（a+b）∵1≤a﹣b≤2，∴3≤3（a﹣b）≤6 ①∵2≤a+b≤4 ②∴①+②5≤t≤10故答案为：[5，10]【点评】本题考查求取值范围，本题解题的关键是把所给的两个代数式作为一个整体来处理，千万不要分开来写出范围，本题还可以利用线性规划来解决．16．（5分）设函数f（x）＝，则f[]＝；如果f（a）＝1，则a＝0或．【分析】利用函数的解析式，逐步求解函数值，以及函数的零点即可．【解答】解：函数f（x）＝，f（2）＝22+2﹣2＝4，f[]＝f（）＝1﹣＝．f（a）＝1，可得1﹣a2＝1，则a＝0，a2+a﹣2＝1，解得a＝，或a＝舍去．故答案为：；0或．【点评】本题考查函数的零点与函数值的求法，是基本知识的考查．四、解答题（6道大题，共70分）17．（10分）设f（x）为定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，y＝3x；当x＞1时，y＝﹣x2+4x．直线y＝3x与抛物线y＝﹣x2+4x的一个交点为A，如图所示．（1）当x＞0时，写出f（x）的递增区间（不需要证明）；（2）在答题卡给定的坐标纸中补全f（x）的图象，并根据图象写出不等式f（x）＜0的解集．【分析】（1）直接根据图象写结果即可；（2）根据偶函数的对称性即可直接画图，并求出不等式的解集．【解答】解：（1）由图可得，当x＞0时，f（x）的递增区间为（0，2]．（2）因为f（x）为定义在R上的偶函数，其图象关于y轴对称，故其图象为：，不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）．【点评】本题考查的知识点是函数图象的对称变换，正确理解并熟练掌握函数图象的对称变换法则，是解答的关键．18．（12分）已知集合A＝{﹣4，2m﹣1，m2}，B＝{m﹣5，1﹣m，9}，若A∩B＝{9}，求实数m的值．【分析】根据条件可得出m＝5或±3，然后然后分别让m＝5，3，﹣3，然后求出集合A，B，检验是否满足题意即可．【解答】解：∵A∩B＝{9}，∴9∈A，∴2m﹣1＝9，或m2＝9，解得m＝5或±3，①m＝5时，A＝{﹣4，9，25}，B＝{0，﹣4，9}，A∩B＝{﹣4，9}，不合题意；②m＝3时，B＝{﹣2，﹣2，9}，不满足集合元素的互异性；③m＝﹣3时，A＝{﹣4，﹣7，9}，B＝{﹣8，4，9}，A∩B＝{9}，符合题意；综上所述，m＝﹣3．【点评】本题考查了列举法的定义，元素与集合的关系，交集的定义及运算，集合元素的互异性，考查了计算能力，属于基础题．19．（12分）（1）已知x＜2，求的最大值；（2）已知x，y均为正实数，若x+4y+xy＝5，求xy的最大值．【分析】（1）由题意可得4x+＝﹣[4（2﹣x）+]+8，再根据基本不等式即可求出；（2）5﹣xy＝x+4y根据基本不等式可得xy+4﹣5≤0，解得即可求出xy的最大值．【解答】解：（1）∵x＜2，∴x﹣2＜0，∴4x+＝4（x﹣2）++8＝﹣[4（2﹣x）+]+8≤﹣2+8＝﹣4+8＝4，当且仅当4（2﹣x）＝，即x＝时取等号，∴的最大值为4．（2）∵x，y均为正实数，x+4y+xy＝5，∴5﹣xy＝x+4y≥2＝4，当且仅当x＝4y，即x＝2，y＝时等号成立，∴xy+4﹣5≤0，解得≤1，∴xy的最大值为1．【点评】本题考查了不等式的基本应用，考查了转化思想，属于中档题．20．（12分）已知函数f（x）＝，f（x）为R上的奇函数且f（1）＝．（1）求a，b；（2）判断f（x）在[1，+∞）上单调性，并证明．【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得f（﹣x）＝﹣f（x），即＝﹣，变形可得b＝0，又由f（1）＝＝，即可得a的值，（2）根据题意，设1≤x1＜x2，由作差法分析可得结论．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝，f（x）为R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即＝﹣，变形可得b＝0，又由f（1）＝＝，则a＝1；（2）由（1）的结论，f（x）＝，在区间[1，+∞）上单调单调递减，证明如下：设1≤x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，又由1≤x1＜x2，则（x2﹣x1）＞0，（x1x2﹣1）＞0，则f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在[1，+∞）上单调单调递减．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质应用，涉及函数单调性的证明，属于基础题．21．（12分）已知a∈R，奇函数f（x）与偶函数g（x）的定义域均为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且满足f（x）﹣g（x）＝x+﹣2．（1）分别求f（x）和g（x）的解析式；（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）+g（x）＞0恒成立，实数a的取值范围．【分析】（1）由函数的奇偶性的定义，可得﹣f（x）﹣g（x）＝﹣x﹣﹣2，联立f（x）﹣g（x）＝x+﹣2，解方程可得f（x），g（x）的解析式；（2）方法一、讨论当a≥0时，a＜0时，结合函数的单调性，求得最小值，解不等式可得所求范围；方法二、运用参数分离和二次函数的单调性可得最值，即可得到所求范围．【解答】解：（1）因为f（x）﹣g（x）＝x+﹣2，①可将x换为﹣x，得f（﹣x）﹣g（﹣x）＝﹣x﹣﹣2，因为f（x）为奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），g（x）为偶函数，可得g（﹣x）＝g（x），所以﹣f（x）﹣g（x）＝﹣x﹣﹣2，②由①②解得f（x）＝x+，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（x）＝2，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）；（2）方法一、由（1）可得f（x）+g（x）＝x++2，x≥1，当a≥0时，函数f（x）+g（x）的值恒为正；当a＜0时，f（x）+g（x）＝x++2在[1，+∞）上为增函数，故当x＝1时，f（x）有最小值3+a，故只需3+a＞0，即有﹣3＜a＜0，综上可得，实数a的取值范围是（﹣3，+∞）；方法二、由（1）可得f（x）+g（x）＝x++2，x≥1，当x≥1时，f（x）+g（x）＞0恒成立，等价为a＞﹣（x2+2x）对x≥1恒成立，而二次函数y＝﹣（x2+2x）在[1，+∞）递减，可得x＝1时，y max＝﹣3，则a＞﹣3．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．22．（12分）为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x 万元满足：p＝3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本10+2p 万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．【分析】（Ⅰ）根据产品的利润＝销售额﹣产品的成本建立函数关系；（Ⅱ）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，y＝，将p＝3﹣代入化简得：（0≤x≤a）；（Ⅱ）＝＝＝﹣，当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数在（0，1）上单调递增，当x∈（1，a）时y'＜0，所以函数在（1，a）上单调递减，从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增，所以在[0，a]上单调递增，故当x＝a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为＝13 万元；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大，为万元．【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．。