放思想在高考数学中的用
高中段，在数列那一章的学中，我曾接触放思想。

其在高考函数中，尤
其是数大中，放思想起着足重的作用。

例如，我明x^2-2x+1≥ 0，个目大家来根本算不上。

但是如果我
明 x^2-3x+e^x ≥ 0。

个式子我看起来非常陌生，我e^x 并不熟悉，我不喜e^x 或者lnx,因此，我可以把他化x 的形式。

道目，我可以先明e^x≥ x+1，里构造助函数f(x)=e^x-x-1 即可明，
明后，我可以得到x^2-3x+e^x ≥ x^2-2x+1≥0 当 x=1 两等号成立。

在此，我出以下 4 个常考的助函数供大家参考。

①e^x≥ x+1 当 x=0 等号成立
② lnx≤ x-1 当 x=1 等号成立
③sinx≤ x 当 x=0 等号成立
④ cosx≤ x+1 当 x=0 等号成立
接下来我不妨来一道高考，
22(本小分13 分 )
2012 年山高考。

已知函数f(x) = ln x k
（ k 常数，e=2.71828 ⋯⋯是自然数的底数），曲 y= f(x)在点（ 1，e x
f(1)）的切与x 平行。

（Ⅰ）求k 的；
（Ⅱ）求f(x)的区；
（Ⅲ） g(x)=(x2+x) f '( x) ,其中 f '( x)f(x)的函数，明：任意 x＞ 0，g ( x) 1 e 2。

上面本题的标准答案，前两问在此不做解释。

在第三问中，我们可以看出关键步骤就是把g(x)分成1+x/e^x 和1-x-xlnx 两部分，但是我们如何想到这一步呢？为什么他要把函数分
成这两部分呢？看完上面的文章，我想各位读者已经有了初步的思考，下面，让我们再重新看一遍第三问。

g(x)= (1-x-xlnx)(x+1)/e^x
看到这个函数，我们的第一反应应该是：这个函数不好做， e^x 和 lnx 太烦了，我们把它放缩一下。

把 lnx 换成 x-1,把 e^x 换成 x+1。

原式 g(x)＜1-x-xlnx ①①式≤ 1-x^2 ②
看到②式，很多人就会认为，呀！这么简单就做出来了？细心的朋友
可能会发现，其实①式的推导存在着一定的问题。

已知 lnx≤x-1③
那么 -lnx 应当≥ 1-x 所以①式≥ 1-x^2④
如果我把 x 放缩成 lnx-1 行不行？利用 -(x)≤-(lnx+1)
把①式化为 1-x(lnx+1)≤1-（lnx+1）^2
但我们来仔细推敲一下，我们已知的是-x≤-(lnx+1)③
那么我们能不能通过③式得到-x(lnx+1)≤-(lnx+1)(lnx+1)呢？
显然这是不行的，因为lnx+1 的符号未知。

当lnx+1≥0 时是成立
的而当 lnx+1≤0 时
-x(lnx+1)≥-(lnx+1)(lnx+1)
接下来我们回归这道题目。

第一步把 e^x 放缩为 x+1 之后
g(x)＜1-x-xlnx
构造辅助函数h(x)=1-x-lnx 即可，并不需要上述那些复杂的讨论，那
些讨论，是为了方便大家了解在放缩应用的过程中容易出现的问题。

其实，我所列出的辅助函数，只不过是高考中最常见的 4 种函数的放缩方式，能解决大部分的问题，例如2014 年新课标 1 卷，最后一问让我们证明 f(x)=e^xlnx+2e x-1 /x ＞1 ①
标准答案所给的思路是将①式移项，得到
xlnx＞xe-x -2/e ②
证明②式左端函数最小值＞右端函数最大值。

这显然不是我们正常的思路，按照我们先前的思路，把e^x 换成 x+1 可以得到
f(x)=2/e+xlnx+lnx+2/ex ③
把函数分成三个部分， 2/e,xlnx,lnx+2/ex 分别求导，可以轻松得到
f(x)＞1/e+ln2 ④
我们知道 2.7<e<2.8
所以 1/e＞1/3 ⑤
接下来我们只需要证明 ln2＞2/3 ，即 2^3=8＞e^2 ⑥
又因为 e^2＜2.8^2=7.76＜8 ⑦
所以原式得证。

此外，除了上述 4 种函数，还有很多其他类型的辅助函数等着大家去
发现，在这里我只举一个简单的例子
e^x≤x^2+1 是成立的
但e^x≤x^n+1 呢
请大家自行思索。

解决这类 f(x)＜某定值 a 的问题的关键就是构造合适的辅助函数进行放缩，我们平常做的那些参考资料所给出的答案，往往只是一种过度格式化的答案，答案给出的解题过程并非我们思考的正常顺序。

例如，我们看到它构造一个辅助函数 e^x≤x+1，但他为什么要构造这个函数呢？构造其他的辅助函数可以吗？这是我们应当思考的问题，这也是高中数学乃至高中教学过程中应当注意的问题。