练习题7-1 两个点电荷所带电荷之和为Q ，它们各带电荷为多少时，相互间的作用力最大?解: 这是一个条件极值问题。

设其中一个点电荷带电q ，则另一个点电荷带电q Q -， 两点电荷之间的库仑力为()241r qq Q F -=πε由极值条件0d d =q F，得Q q 21= 又因为202221d d r q F πε-=<0这表明两电荷平分电荷Q 时，它们之间的相互作用力最大。

7-2 两个相同的小球，质量都是m ，带等值同号的电荷q ，各用长为l 的细线挂在同一点，如图7-43所示。

设平衡时两线间夹角2θ很小。

（1）试证平衡时有下列的近似等式成立：31022⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mg l q x πε式中x 为两球平衡时的距离。

(2)如果l = 1.20 m ，m =10 g ，x =5.0 cm ，则每个小球上的电荷量q 是多少?(3)如果每个球以-19s C 1001⋅⨯-.的变化率失去电 图7-43 练习题7-2图 荷，求两球彼此趋近的瞬时相对速率d x /d t 是多少? 解：(1)带电小球受力分析如图解所示。

小球平衡时，有FT =θsinmg T =θcos由此二式可得mgF =θtan因为θ很小，可有()l x 2tan ≈θ，再考虑到2024x q F πε=可解得31022⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mg l q x πε（2）由上式解出C 10382282130-⨯±=⎪⎪⎭⎫⎝⎛±=.l mgx q πε （3） 由于tq q x t q q mg l t x d d 32d d 322d d 31310=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-πευ 带入数据解得-13s m 10401⋅⨯=-.υ合力的大小为2222201222412cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅===d x x d x e F F F x πεθ()23222043241dx xe +=πε令0d d =x F ，即有()()0482341825222232202=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅-+d x x d x e πε 由此解得α粒子受力最大的位置为22d x ±=7-4 由相距较近的等量异号电荷组成的体系称电偶极子，生物细胞膜及土壤颗粒表面的双电层可视为许多电偶极子的集合。

因此，电偶极子是一个十分重要的物理模型。

图7-45所示的电荷体系称电四极子，它由两个电偶极子组合而成，其中的q 和l 均为已知，对图7-44中的P 点(OP 平行于正方形的一边)，证明当x » l 时4043x plE p πε≈其中，p=ql 称电偶极矩。

解：电四极子可看成两个电偶极子的组合。

设左边和右边两个电偶极子在P 点产生的场强分别为E 左和E 右，由教材例题7-3可知()()302 4l p E x πε=+左方向向下 ()()3024l p E x πε=-右方向向上其中，p =ql 。

P 点处的合场强为()()()()3223332200022232444ll l l x l p p p E E E x x x πεπεπε+=-=-=-+⎡⎤-⎣⎦左右由于x » l上式可简化为()403 4plE xπε=方向向上 证毕。

7-5 如图7-46所示，长为l 的细直线OA 带电线密度为λ，求下面两种情况下在线的延长线上距线的端点O 点为b 的P 点的电场强度： (1)λ为常量，且λ>0；(2) λ=kx ，k 为大于零的常量，(0≤x ≤1)。

解：(1)将带电直线分割成无数个长度元d x ，d x 的坐标是x 。

它所带的电荷元d q =λd x ，d q 在P 点产生的电场强度的大小为()2d 41d b x xE +⋅=λπε因为所有电荷元产生的场强方向都相同，所以场强的矢量叠加可用代数方法 相加。

于是带电直线在P 点产生的电场强度为 ()⎰+⋅=lb x xE 02d 41λπε ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=l b b 1140πελ()l b b l+=04πελ 方向沿x 轴的负方向。

(2) 同样取电荷微元d q =λd x =kx d x ()2d 41d b x xkx E +⋅=πε同理()⎰+⋅=lb x xkx E 02d 41πε⎪⎭⎫⎝⎛+-+=b l l b l b k ln 40πε 方向沿x 轴的负方向。

7-6 一个半径为R 的半圆细环上均匀地分布电荷Q ，求环心处的电场强度。

解：分析在求环心处的电场强度时，不能将带电半圆环视作点电荷。

现将其抽象为带电半圆弧线．在弧线上取线元d l ，其电荷l RQ q d d π=，此电荷元可视为点电荷，它在O点的电场强度为020d 41d r E Rq ⋅=πε 因圆环上电荷对y 轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有0d ==⎰Lx x E E点O 的合电场强度为 习题7-6用图θπεθsin d 41sin d -d -20RqE E E E LLLy y ⋅-====⎰⎰⎰其中，负号表示场强方向与y 方向相反。

将l RQq d d π=，θd d R l =，带入上式，积分得 2022022sin 4RQ RQ E επθεππ－=-=⎰负号表示场强方向与y 方向相反7-7 一个半径为R的带电圆盘，电荷面密度为σ，求：（1）圆盘轴线上距盘心为x处的任一点P的电场强度；（2）当R→∞时，P点的电场强度为多少?（3）当x »R时，P点的电场强度又为多少?练习题7-7用图解：（1）在半径为R的带电圆盘上取半径为r、外半径为r+d r的细圆环，如图所示。

利用教材中例题7-5的结果可知，该细圆环上的电荷在P点产生的场强为()()3232222200d 2dd44x S x r rEx r x rσσππεπε==++于是，整个圆盘上的电荷在P点产生的场强为()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=+=⎰21222322122RxxrxrdrxE Rεσεσ（1）当R→∞时，R »x。

此时，上式可化为2Eσε=即此时可将带电圆盘看作无限大带电平面。

（3）当x »R时，可将带电圆盘看作点电荷，此时P点电场强度为22200444R qEx xσππεπε==7-8 图7-47为两个分别带有电荷的同心球壳系统。

设半径为1R 和2R 的球壳上分别带有电荷1Q 和2Q ，求：（1）I 、II 、III 三个区域中的场强； （2）若1Q =－2Q ，各区域的电场强度又为多少？画出此时的电场强度分布曲线 (即E －r 关系曲线)。

解：（1）在区域I ，做半径为r ﹤R 1的球形高斯面。

因为高斯面无电荷，根据高斯定理 S d S⋅⎰⎰ E =∑ii q内1ε即 0421=r E π可得区域I 中的电场强度为E 1= 0在区域II ，以12R r R <<为半径做球形高斯面。

因为此高斯面的电荷为Q 1，由高斯定理得S d S⋅⎰⎰ E =∑ii q1ε1224επQ r E =由此可解得区域II 的电场强度为12204Q E r πε=在区域III ，做半径r ﹥R 2的球形高斯面。

由于该高斯面的电荷为Q 1+Q 2，由高斯定理可得S d S⋅⎰⎰3 E =∑ii q1ε21234επQ Q r E +=E 3 =1224Q Q r πε+图7-47 练习题7-8用图（2）当1Q =－2Q 时，根据以上结果易知区域I 的场强为E 1= 0区域II 的场强为12204Q E rπε=区域III 的场强为E 3= 0根据上述结果可画出如图所示E r -关系曲线。

7-12 水分子的电偶极矩为-306.1310C m ⨯⋅，如果这个电偶极矩是由一对点电荷±e 引起的(e 为电子电量)，那么，它们的距离是多少?如果电偶极矩的取向与强度为6-110N C ⋅的电场方向一致，要使这个电偶极矩倒转成与电场相反的方向需要多少能量(用eV 表示)? 解：（1）由电偶极矩的定义e p ql =得3011196.1310 3.8310(m)1.610e p l q ---⨯===⨯⨯ （2）若使电偶极矩倒转需要能量为A ，则1961119522 1.61010 3.83101.6107.6610(eV)A q q eEl+-----=⋅+⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯E l E l7-13 计算练习题7-8中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域中的电势。

解：（1）根据题7-8所得Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域中的电场分布，01=E ;12204Q E r πε=;2210341r Q Q E +=πε 可得区域I 的电势为1212212 1 123 11222 00 d d d d d d 44E rrR R rR R R R R U E r E r E rQ Q Q r r r rπεπε∞∞∞=⋅=+++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰由此解得12101214Q Q U R R πε⎛⎫=+ ⎪⎝⎭区域Ⅱ的电势分布为2212223 021 d d d 4E r R rrR Q Q U E r E r r R πε∞∞•⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 区域Ⅲ的电势分布为1233 0 d d 4E r rrQ Q U E r rπε∞∞•+===⎰⎰（2）若12Q Q =-，则区域Ⅰ的电势为1212211 123 1201012 d d d d d 4114E rrR R rR R R R U E r E r E rQ rrQ R R πεπε∞∞=⋅=++=⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰区域Ⅱ的电势为2122 0211 d d 4E r R rrQ U E r r R πε∞•⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰⎰区域Ⅲ的电势为 33 d d 0E r rrU E r ∞∞•===⎰⎰7-14 “无限长”均匀带电圆柱面，半径为R ，单位长度上带电量为+λ。

试求其电势分布。

(提示：选取距带电圆柱面轴线为R 的0P 点为电势零点)解：由于电荷分布具有轴对称性，所以应用高斯定理很容易求出电场强度分布为0 (r ＜ R )E=rE 02πελ=（r ＞ R ） 电场强度方向垂直于带电圆柱面沿径向。

选某一距带电直线为R 的0P 点为电势零点， 如本题解图所示。

当r ＜ R 时 0d d 0⎰⎰=⋅=⋅=Rrp PU r E r E这个结果可以一般地表示为当r ＞ R 时r rr E U P P RrRrd 2d d 00⎰⎰⎰'==⋅=πελr E R r ln 2ln 200πελπελ+-=rRln 20πελ=. ..页脚7-16 同轴电缆是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱体构成，如图7－49所示。

设圆柱体的电势为1U ，半径为1R ；外圆柱体的电势为2U ，外圆柱体的半径为2R ，两圆柱体之间为空气。