通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？
完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加（或减）它们的积的2倍
用符号怎么表述呢？
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
公式的特点：
1.积为二次三项式；
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(x +y)2 =x2+2xy +y2
2.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2
(2) (4x-3y)2
=36a2+60ab+25b2
=16x2-24xy+9y2
Байду номын сангаас
(3) (2m-1)2 =4m2-4m+1
(5) 1032
(4)(-2m-1)2 =4m2+4m+1
2.其中两项为两数的平方和；
3.另一项是两数积的2倍，且与左边乘式中间的符号相同.
首平方，尾平方，积的2倍在中央
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式．
你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公 式吗？
先看图（1），可以看出大正方 形的边长是a+b．还可以看出大 正方形是由两个小正方形和两个 长方形组成， 所以大正方形的
面积等于这四个图形的面积之 和．阴影部分的正方形边长是a， 所以它的面积是a2；
另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另 外两个长方形的长都是a，宽都是b，所以每个长方形 的面积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是 (a+b)2．于是就可以得出：(a+b)2=a2+2ab+b2．这正 好符合完全平方公式．
=(100+3)2
=1002+2×100×3+32
=10 000+600+9=10 609
1.若x+y=3,xy=1,则 x2 y2 _____.
【解析】 x2 y2 (x y)2 2xy 32 2 7.
答案：7 2.化简（x+1)2+2(1-x)-x2. 【解析】原式=x2+2x+1+2-2x-x2=3.
(1)a2 (2)b2 (3)(a+b)2 (4)(a+b)2-(a2+b2)
在上面问题中遇到了两个数和的平方的运算，如何 进行这样的运算呢？
能不能将(a+b)2转化为我们学过的知识去解决呢？
我们知道a2=a•a，所以(a+b)2=(a+b)(a+b)，这样 就转化成多项式与多项式的乘积了．
像研究平方差公式一样，我们探究一下(a+b)2的运算 结果有什么规律． 计算下列各式，你能发现什么规律？
(2) 992 .
解: (1) 1022 = (100 +2) 2 = 1002 +2×100×2 + 22 = 10 000 +400 +4
= 10 404 . (2) 992 = (100 -1)2
= 1002 -2×100×1+12
= 10 000 - 200 + 1
= 9 801.
1. 完全平方公式的内容是什么？
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2 2. 请同学们总结完全平方公式的结构特征。
公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是 三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平 方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．
3. 我们要正确理解公式中字母的广泛含义：它 可以是数字、字母或其他式子，只要符合公式 的结构特征，就可以运用这一公式
数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一 步理解完全平方公式的结构特征．现在，大家可以 轻松解开课前提出的老人用糖招待孩子的问题了．
(a+b)2-(a2+b2) =a2+2ab+b2-a2-b2=2ab． 于是得孩子 们第三天得到的糖果总数比前两天他们得到的糖果总 数多2ab块．
例1 运用完全平方公式计算:
（1）(p+1)2=(p+1)(p+1)=_______； （2）(m+2)2=_______； （3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=________； （4）(m-2)2=________； （5）(a+b)2=________； （6）(a-b)2=________．
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+p+p+1=p2+2p+1 (2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+2m+m•2+2×2=m2+4m+4 （3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2+p•(-1)+(-1)•p+(-1)×(-1)
【跟踪训练】
1.下面各式的计算结果是否正确？如果不正确，应当怎 样改正？ (1)(x+y)2=x2 +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2
(3) (x -y)2 =x2+2xy +y2 错 (4) (x+y)2 =x2 +xy +y2 错
=p2-2p+1 （4）(m-2)2=(m-2)(m-2)
=m2+m•(-2)+(-2)•m+(-2)×(-2)=m2-4m+4 （5）(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 （6）(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
(1) (4m+n)2; (2) (y- 1 )2.
2
解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2•(4m)•n+n2
= 16m2+8mn +n2;
(2) (y - 1 2
)2 = y2 - 2•y• 1
2
1
+ ( 2 )2
1
= y2-y +
4
例2 运用完全平方公式计算:
(1) 1022 ;
如图（2）中，大正方形的边长 是a，它的面积是a2；长方形 DCGE与长方形BCHF是全等图 形，长都是a，宽都是b，所以 它们的面积都是a•b；正方形 HCGM的边长是b，其面积就是 b2；
正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是(ab)2．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形 ABCD的面积减去两个长方形DCGE和BCHF的面积 再加上正方形HCGM的面积． 也就是：(a-b)2=a22ab+b2．这也正好符合完全平方公式．
人教版八年级数学上册 完全平方公式课件
2020/8/26
学习目标：
1.会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算，掌握完全 平方公式的计算方法．形成推理能力．
2.完全平方公式和平方差公式的正确运用． 3.添括号法则 学习重点：
1.完全平方公式的推导和应用． 2.乘法公式综合应用 学习重点：
1.完全平方公式的推导和应用． 2.乘法公式综合应用
请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子．每 当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他 们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个 孩子，老人就给每个孩子两块塘，…（1）第一天有a 个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这 些孩子多少块糖？（3）第三天这（a+b）个孩子一起 去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4）这 些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果 总数哪个多？多多少？为什么？