第六章 期权定价的数值方法
——二叉树期权定价模型
孙万贵 西北大学经济管理学院
1/18/2020
1
前言
布莱克—舒尔斯期权定价公式的局限性 1. 连续时间交易，模型复杂不易理解，缺
乏直观； 2. 假设不存在交易费用和其它费用； 3. 只适用于欧式期权
1/18/2020
2
前言
二叉树期权定价模型的优点 1. 适用于单期投资和多期投资问题； 2. 不仅适用于欧式期权的定价，也适用于
4.87
p r d 0.54 ud
P 1 p 0.055 1 p 2.51.18
r
1/18/2020
17
参数确定
u e t d1
u r er0t p rd
ud
1/18/2020
18
二叉树定价方法的应用
停业决策和重新开业决策 评估金矿
c= aS+b =30
1/18/2020
7
解法三：构造股票
股票
150
S=100
50
构造组合：ac+b
ac+b
50a+rb rb
欧式看涨期权
50
c
0
因此， 50a+rb=150
rb=50 所以，a=?, b=?
s= ac+b
1/18/2020
8
单期一般情况
股票 uS
S
dS
构造组合：复制期权
欧式看涨期权
S 320 u e t e0.15 1 2 1.11 d 1 u 0.9 r 1.34 X 350
1/18/2020
20
停业决策和开业决策
437
394
355
355
320
320
288
288
259
1/18/2020
4
问题——单期情况
一只股票现价100元，一年后有两种可 能，上涨到150元或下跌到50元。假设无风 险利率25%（年单利）。又设一欧式看涨 期权，期限一年，到期有权选择按执行价 格100元获得一股该股票。试求此欧式看涨 期权的价格。
1/18/2020
5
解法一: 构造无风险组合
股票
p uS S 1-p dS
c

1 r

pcu

1

pcd

其中
p r d — 风险中性概率 ud
按风险中性概率，股票到期期望收益为
puS 1 pdS
或 pu 1 pd
r d uS 1 r d dS ud ud
rS
r d u 1 r d d ud ud
49.88 P
0.12
47.5
2.5
45.13
4.87
Puu
Pu
P
Pud
Pd
Pdd
p r d 0.54 ud
Pu

1 r

pPuu

1
pPud

0.055
Pd 2.296
1/18/2020
16
美式看跌期权
不提前
0
执行 0
P
(0.055)
0.12
2.5
提前 执行
(2.296)
5.13
52.5 股票 50
2.5
49.88 C
0
47.5
0
45.13
0
Cuu
p r d 0.54 ud
Cu
C
Cud
Cd
Cu

1 r

pCuu
1
pCud

2.76
Cd 0
Cdd
C 1.48
1/18/2020
15
美式看跌期权—可能提前执行
55.13
0
0
52.5 股票 50
r
1/18/2020
11
例子
股票
150
S=100
50
u 1.5, d 0.5, r 1.25, cu 50, cd 0, 可知 p r d 1.25 0.5 0.75
u d 0.5 0.5
欧式看涨期权
50
c
0
c

1 r
pcu

1
p cd
美式期权的定价； 3. 适用于存在各种费用问题； 4. 易于理解

1/18/2020
3
前言
参考文献 1. Black F.,Scholes M., The pricing of
options and corporate liabilities, Journal of Political Economy, 1973, 81, 637-654 2. Cox J., Huang C.F., Rubinstein M., Optional pricing: a simplified approach, J. Financial Economics,1979, 7, 229-263
WOE拥有金矿。 WOE（交易代码）处在停 产状态，但仍交易。 WOE没有债务，流通股 2000万，市场价值过亿美元。
1/18/2020
19
WOE评估
当前金价 金价波动率 半年期利率3.4% 每盎司黄金开采成本 开采期限100年 开业成本200万 停业成本100万 期数200 每期开采数量2.5万盎司

1 0.75 50 0.25 0
1.25
30
1/18/2020
12
多期二叉树模型—欧式期权
S=50, K=50, u=1.05, d=0.95， 0
0.05 1
r e 12 1.004
52.5 股票 50
47.5
1/18/2020
55.13
49.88 c
45.13
cu c
cd
c=aS+b
auS+rb= cu adS+rb=cd
1/18/2020
9
二叉树定价公式
a cu cd , Su Sd
b

dcu ucd
d ur
c

aS

b

1 r
pcu

1
p cd

其中
p rd ud
p — 风险中性概率
1/18/2020
10
风险中性概率
1月
2月
5.13
2.5 0
0 0
13
续
5.13
2.5
c
0
0
0
p r d 0.54 ud
cu

1 r
pcuu
1
pcud

2.76
cd 0
1/18/2020
cuu
cu
c
cud
cd
cdd
c

1 r
pcu

1
pcd


1.48
14
美式看涨期权—不提前执行
55.13
欧式看涨期权
50 150
c
100 50
0
构造组合：一股股票和两份看涨期权空头
100-2c
50
因此，
100-2c=50/(1+25%)=40
50
所以，c=30
1/18/2020
6
解法二：构造期权
股票
150
S=100
50
构造组合：aS+b
aS+b
150a+rb 50a+rb
欧式看涨期权
50
c
0
因此， 150a+rb=50 50a+rb=0 所以，a=1/2, b=-20