线性系统理论
上机实验报告
题目：两轮平衡小车的建模与控制研究
完成时间：2016-11-29
1.研究背景及意义
现代社会人们活动范围已经大大延伸，交通对于每个人都十分重要。
交通工具的选择则是重中之重，是全社会关注的焦点。
随着社会经济的发展，人民生活水平的提高，越来越多的小汽车走进了寻常百姓家。
汽车快捷方便、省时省力，现代化程度高，种类繁多的个性化设计满足了不同人的需求。
但它体积大、重量大、污染大、噪声大、耗油大、技术复杂、使用不便、价格贵、停放困难，效率不高，而且还会造成交通拥堵并带来安全隐患。
相比之下，自行车是一种既经济又实用的交通工具。
中国是自行车大国，短距离出行人们常选择骑自行车。
自行车确实方便，但在使用之前需要先学会骑车，虽然看似简单，平衡能力差的人学起来却很困难，容易摔倒，造成人身伤害。
另外，自行车毕竟不适宜长距离的行驶，遥远的路程会使人感到疲劳。
那么，究竟有没有这样一种交通工具，集两者的优点于一身呢既能像汽车一样方便快捷又如自行车般经济简洁，而且操作易于掌握，易学又易用。
两轮自平衡车概念就是在这样的背景下提出来的。
借鉴目前国内外两轮自平衡车的成功经验，本文提出的研究目标是设计一款新型的、结构简单、成本低的两轮自平衡车，使其能够很好地实现自平衡功能，同时设计结果通过MATLAB进行仿真验证。
2.研究内容
自平衡式两轮电动车是一个非线性、强耦合、欠驱动的自不稳定系统，对其控制策略的研究具有重大的理论意义。
我们通过分析两轮平衡车的物理结构以及在平衡瞬间的力学关系，得到两轮车的力学平衡方程，并建立其数学模型。
运用MATLAB 和SIMULINK 仿真系统的角度θ、角加速度•
θ、位移x 和速度的•
x 变化过程，对其利用外部控制器来控制其平衡。
3.系统建模
两轮平衡车的瞬时力平衡分析如图1所示。
下面将分析归纳此时的力平衡方程[1-3]，并逐步建立其数学模型。
对两轮平衡车的右轮进行力学分析，如图2所示。
依据图2对右轮进行受力分析，并建立其平衡方程：
=R R R R M X f H ⋅
- (1) R R R R J C f R ϕ⋅⋅
=- (2)
同理，对左轮进行受力分析，并建立其平衡方程：
=R L L L M X f H ⋅
- (3)
L L L L J C f R ϕ⋅⋅
=- (4)
两轮平衡车摆杆的受力分析如图3所示，由图3可以得到水平和垂直方向的平衡方程以及转矩方程。
水平方向的平衡方程：
H H x R L p m +=•
• (5)
其中θsin L x x m p +=，则有：
•
••
••
•*+*-=θθθθcos sin 2
L L x x m p (6)
2
x
x x R
L
m +=
(7)
垂直方向的平衡方程：
mg m P P x R L z -+=•
• (8)
其中L L x z -=θcos ，则有：
•
••
•*-*-=θθθθsin cos 2
L L x z (9)
转矩方程为：
θθθcos )(sin )(L L H H P P J R L R L p +-+=•
• (10) 两轮平衡车的转向平衡受力分析如图4所示。
由图4对转向运动分析可得： 2
)(D
H H J R L -=
•
ψψ (11)
D
x x R
L
-=
ψ (12)
到目前为止，两轮平衡车的所用平衡方程建立完毕。
当θ在︒±5变化时，θθ≈sin ，1cos ≈θ，02
ť
θ，由此可得两轮平衡车的数学模型： R
mL M C C x R
J R L
m +=++
•
••
•θφ
)22(2
(13)
•
••
••
•-=-+x L J m P mL mgL m θθθ2 (14) R
D
D DM C C J R
J R L
-=+
+
•
•ψψφ
)2(2
(15)
由式(13)~(15)可得系统状态方程：
设M=，R=，L=，2=0.001kg J m ψ⋅，m=10kg ， 2=0.002kg J m θ⋅，2=0.0034kg p J m ⋅，D=，式中A:系统矩阵；B ：输入矩阵；C ：输出矩阵；D ：直接传递矩阵；u:输入向量；X:状态向量；Y ：输出向量。
即最终两轮平衡车的状态空间方程为：
系统仿真
适当选取不同的极点，观察不同极点下，系统各变量之间的变化。
在进行极点配置时，分别采用极点配置法和LQR函数法进行反馈，观察系统变量的变化。
由结果可知，LQR函数法相对应与极点配置法具有较小的超调量和较快的响应时间。
设置初始角度为1/3*pi，观察系统变化。
由实验结果可知，当初始状态存在一个倾角时，系统依然能够在相应的时间下达到稳定。
研究结果
两轮平衡车是一种不稳定系统，本文从该系统的平衡瞬间的动力学进行了分析，建立数学模型，并采取适当的反馈控制，将原先的开环控制系统构建为闭环系统，最终使得平衡车系统的位移、角度、速度和加速度这些变量趋于稳定。
并应用MATLAB来对系统性能指标进行分析，用simulink进行仿真。
表明：两轮平衡车能够实现稳定控制和抗干扰性。