② 9 ① 20 ③ 10
7
15 ④ 19 25 14 6 ⑥ 30 ⑤ 11 ⑦
起点为v1终点为v7的一个网络图
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§8-1 图的基本概念Basic Concepts of Graph
树、支撑树： 无圈的连通图称为树； 若G1是G2的一个支撑子图并且是一 棵树，则称G1是G2的一棵支撑树。 图8－2(a)、8－2(b)都不是树。想一想，为什么？ 图8－3(a)是一棵树，图8－3(b)是图8－1的一棵支撑树。
【性质1】任何树中必存在次为1的点。 【性质2 】具有n个顶点的树的边数恰好为（n－1）条 【性质3 】任何具有n个点、(n－1)条边的连通图是树图。
最小树问题
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§8-2 最小树问题 Minimum Spanning Tree Problem
制作与教学 河北工业大学管理学院 孔造杰 kongzj@
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§8-1 图的基本概念Basic Concepts of Graph
引例：哥尼斯堡七桥问题
您能从A、B、C或D任意一点出 发走遍7座桥并且每座桥只走一 次最后回到原出发点吗？
D
A A D C C B
环，多重边，简单图 e2 e 如果边e的两个端点相重，称该边为环。 4 如图６－１中边 e1 为环。如果两个点之间 v2 e5 多于一条，称为多重边，如图６－１中的 e4和e5，对无环、无多重边的图称作简单图。 e6 次，奇点，偶点，孤立点 与某一个点 vi 相关联的边的数目称为点 vi 的次（也叫做度），记作 d(vi)。图６－１ 中 d(v1)＝４,d(v3)=5,d(v5)=1。次为奇数的点 称作奇点，次为偶数的点称作偶点，次为0 的点称作孤立点。 图的次 一个图的次等于各点的次之和。
v1
8 4 3 8
v3 5 2
7
v5 1
5 v2 v1
v4 v3 4 2
6
v6 v5
5 1 Min C(T)=15 v6
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v
3
v4
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§8-2 最小树问题 Minimum Spanning Tree Problem
② 9 ① 20 ③ 10
7
15 ④ 19 25 14 6 ⑥ ⑤
赋权图
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§8-1 图的基本概念Basic Concepts of Graph
网络图 在一个有向赋权图G 中规定了一个起点（发点）和一个 终点（收点），其余是中间点，这样的图称为网络。
§8-1 图的基本概念Basic Concepts of Graph
子图、支撑子图
图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果 V1 ⊆ V2和E1 ⊆ E2 称G1是G2的一个子图。若 有 V1＝V2，E1 ⊆ E2 则称 G1是G2的一个支撑 子图（部分图），图8-2（a）是图 8-1的一 个子图，图8-2（b）是图 8-1的支撑子图， e1 注意支撑子图也是子图,子图不一定是支撑 子图。 v2 e6 v4
作业：P283 10.4 10.5
最短路问题
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§8-3 最短路问题 Shortest Path Problem
最短路问题
最短路问题，就是从给定的网络图中找出一点到各点或任意两 点之间距离最短的一条路 . 有些问题，如选址、管道铺设时的选线、设备更新、投资、某 些整数规划和动态规划的问题，也可以归结为求最短路的问题。 因此这类问题在生产实际中得到广泛应用。 求最短路有两种算法，一是求从某一点至其它各点之间最短离的 狄克斯屈拉(Dijkstra)算法；另一种是求网图上任意两点之间最短 的矩阵算法。
v2 e6 v4
e2 e 4 e5 e7
e1 v1 e3 v3 e8 v5
图8－1
v2和v4是边e6的端点，反之边e6是点v2、v4的关联 边。点v2、v4相邻；边e6与e5、 e4j相邻。
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§8-1 图的基本概念Basic Concepts of Graph
有向图 混合图
如果图的每条边都有一个方向则称为有向图 如何图G中部分边有方向则称为混合图
② ⑤ ① ③ 有向图 ④ ⑥
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§8-1 图的基本概念Basic Concepts of Graph
赋权图 设图G＝（V，E），对G的每一条边(vi,vj)相应的有一条数w (vi,vj) (或记为wij)，wij称为边(vi,vj)的权,赋有权的图G称为赋权图。 这里的权数可以是时间、费用、距离等，视不同背景代表不同的 含义。
是一条回路并且是简单回路。
v2 e6 v4
e2 e 4 e5 e7
e1 v1 e3 v3 e8 v5
连通图
若在一个图中，如果每一对顶点之间至少存在一条链，称这样 的图为连通图，否则称该图是不连通的。图6－1是连通图。
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§8-1 图的基本概念Basic Concepts of Graph
µ 2＝{v5 , e8 , v3 , e7 , v4 }
是一条链也是一条路。
μ3={v4,e7,v3,e3,v1,e2,v2,e6,v4}
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C
B
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§8-1 图的基本概念Basic Concepts of Graph
图Ｇ可 定义为点和边的集合，记作
其中V ≠ φ
G ={ V , E}
式中 Ｖ 是点的集合， Ｅ 是边的集合。注意上面定义的 图Ｇ区别于几何学中的图。在几何学中，图中点的位置、线 的长度和斜率等都十分重要，而这里只关心图中有多少点以 及哪些点之间有线相连，如果给图中的点和边赋以具体的含 义和权数，如距离、费用、容量等，把这样的图称为网络图， 记作Ｎ。图和网络分析的方法已广泛应用于物理、化学、控 制论、信息论、计算机科学和经济管理等各个领域。
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§8-1 图的基本概念Basic Concepts of Graph
例如图8－1：
V = {v1 , v2 , L, v5 }, E = {e1 , e2 ,L, e8 }
e2可记作： e2 = [v1 , v2 ] 端点，关联边，相邻 若有边 e可表示为e=[vi,vj],称vi和vj是边e 的端点，反之称边 e为点 vi或vj的关联边。若 点 vi、vj 与同一边关联，称点 vi 和 vj 相邻；若 边ei和ej具有公共的端点，称边ei和ej相邻。 例如图8－1，
第八章 图与网络 Ch8 Graph and Network
§8-1 图的基本概念 Basic Concepts of Graph §8-2 最小树问题 Minimum Spanning Tree Problem §8-3 最短路问题 Shortest Path Problem §8-4 最大流问题 Maximum Flow Problem
e2 v2 e6 v4
e1 v1 e3 e4 e5 e7
e2 v3 e8 v5 v2
v1 e3 v3 v2
e2
v1 v3
e6 v5 v4
e7
图6－3(b)
e8 v5
图8 －1
图6－3(a)
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§8-1 图的基本概念Basic Concepts of Graph
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§8-2 最小树问题 Minimum Spanning Tree Problem
求最小树的方法：破圈法和避圈法 破圈法：任取一圈，去掉圈中最长边，直到2
7
v5 1
5 v2 v1
南岸
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§8-3 最短路问题 Shortest Path Problem
定义：设G＝[V,E]是一个无向图，对每一条边ei∈E有一个长度 C(ei) ≥0,G的任意支撑树T各条边的长度之和称为树T的 长度，记为C（T）。长度最小的支撑树称为最小树。 求最小树是在一个无向连通图G中求一棵最小支撑树。 求最小树问题的应用： ¾ 电信网络（计算机网络、电话专用线网络、有线电视网络等 等）的设计 ¾ 低负荷运输网络的设计，使得网络中提供链接的部分（如铁 路、公路等 等）的总成本最小 ¾ 高压输电线路网络的设计 ¾电器设备线路网络（如数字计算机系统）的设计，使得线路总 长度最短 ¾ 连接多个场所的管道网络设计
µ = {v0 , e1 , v1 , L, ek , v k }