例:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)
已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线,
如果 l⊥m, l ⊥n,求证: l ⊥ .
l
分析：要证明一条直线与一个平面
垂直,由直线与平面垂直的定义可 知,就是要证明这条直线与平面内 的任意一条直线都垂直.
gl
m
m n mg
取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方 向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要 证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量 的条件与向量的目标的联系?
5.求平面法向量的方法： ⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z) ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组

n

a

0
n b 0
待定系数法
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
是PO在平面α内的射
影. 如果a α, a⊥AO，
思考a与PO的位置关 系如何？
例题分析： 1、判定下列命题是否正确
三垂线定理
(1)若a是平面α 的斜线、直线b垂直于a在平面
α 内的射影，则a⊥b。
(×)
(2)若a是平面α 的斜线，b是平面α 内的直线，
且b垂直于a在β 内的射影，则a⊥b。 (×)
N
基底，建立如图所示空间坐标系， A
D
设AB,AD,AF长分别为3a，3b，3c，
y
则可得各点坐标，从而有
B
M
x
C
NM NA AB BM (2a,0,c)
又平面CDE的一个法向量是 AD (0,3b,0) 由NM AD 0 得到NM AD
因为MN不在平面CDE内 所以MN//平面CDE
例:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 l⊥m, l ⊥n,求证: l⊥ .
解: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在l, m, n, g
上取非零向量 l, m, n, g,因m与n相交,故向量m ,n
不平行,由共面向量定理,存在唯一实数(x, y),使
g xm yn , l g xl m yl n , l
(1， 2，2）或 ( 1，2， 2）.
3 33
33 3
练习 1：已知 AB (2, 2,1), AC (4, 5, 3), 求平面 ABC 的
单位法向量.
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .
∴
( (
x, x,
y, y,
答：a⊥PO
为什么呢？
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的
一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
教材未提
l
e1
n1

l1 1 e1 // n1 e1 n1
教材未提
n1
1
n2
2
1
//

2或1与
重合
2

n1 // n2 n1 n2
2 n2
n1
1
1 2 n1 n2 n1 n1 0
已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的
高中数学选修2－1
3.2.向量方程
提问：A，B，C，三点不线，四点A，B，C，M 共面的充要条件是：
AM x AB y AC,(x, y R)
图示：
M
C AB
OM (1 x y)OA xOB yOC
1.直线与平面垂直的定义

2. 平面的法向量：
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)

(3, (3,
4, 0,
0) 2)

0 0
即
3 3
x x

4y 2z

0 0
∴



y z

3 4 3 2
x x
取 x 4,则 n (4, 3, 6) ∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
一个法向量?
在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
l
A,以向量n 为法向量的平面是完全
确定的.
n
M
A
因为方向向量与法向量可以确定直线和 平面的位置，上节我们用直线的方向向量表 示了空间直线、平面间的平行
如何用平面的法向量表示空间两平面平 行、垂直的位置关系呢？
4. 两平面平行或重合、垂直的充要条件
e1
l1
n1

l1 // 1或l1在1内 e1 n1 e1 n1 0
l m 0, l n 0 ,
gl
m
l g 0,即l g.
m n ng
l g,即l垂直于平面内任一直线.l .
6.有关平面的斜线概念， 三垂线定理及其逆定理 P104
什么叫平面的斜线、垂线、射影？
P
oa
α
A
PO是平面α的斜线,
O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO
z) z)
(2, 2,1) (4,5, 3)

0 0
即
2 4
x x

2 5
y y

z0 3z 0
∴
y

z

2 2x
x
①
∵ x2 y2 z2 1 ②∴由①②得 x 1 3
∴平面 ABC 的单位法向量为(1， 2，2）或( 1，2， 2）.
3 33
33 3
例 如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，点
M , N 分别在对角线 BD, AE上，且 BM 1 BD, AN 1 AE，
求证：MN // 平面CDE
3
3
简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF 所在平面互相垂直，所以AB，AD，
Fz
E
AF互相垂直。以 AB，AD，AF 为正交
如果向量n 的基线与平面 垂直，则向量 n
叫平面 的法向量。 几点注意：
1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行;
3.向量n 是平面的法向量，向 量m 与平面平行或在平面内，
则有 n m 0
3. 平面的向量表示： AM n 0
给定一点A和一个向量 n,那么过点