§5-7 晶体中电子的能态密度
5．7．1 带底附近的能态密度
在本章第一节中，我们已经得到自由电子的态密度N （E ），
3
212
22()4m N E V E π⎛⎫= ⎪⎝⎭
h …………………………………………
…………………………………（5-7-1） 而且N(E)~E 的关系曲线已由图5-7-1给出。
晶体中电子受到周期性势场的作用，其能量E(k )与波矢的关系不再是抛物线性质，因此式（5-7-1）不再适用于晶体中电子。
下面以紧束缚理论的简立方结构晶格的s 态电子状态为例，分析晶体中电子态密度的知识。
由前面的紧束缚理论，我们已经得到简立方结构晶格的s 能带的E(k )形式为：
()()012cos cos cos s x y z E J J k a k a k a ε=--++k …………………………………………………（5-7-2）
其中能量极小植在Γ点k =(0, 0, 0)处，其能量为()016s E J J ε=--k ，所以在Γ点附近的能量，可以通过将()E k 展开为在k =0处的泰勒级数而得到，以2
cos 12x x =-+L ，取前两项代入，可以得到：
()()()2222222
2011123()2s x y z s x y z E J J a k k k E J a k k k ε⎛⎫=---++=Γ-++ ⎪⎝⎭
k …………………（5-7-3）
在第五节，我们已经根据有效质量的定义，算得简立方晶格s 带Γ点处的有效质量为一个标量，
2
21
*02m a J =>h ……………………………………………………………………………………………
（5-7-4） 代入后，可得到
()22
*
()2s k E E m =Γ+h k …………………………………………………………………………………（5-7-5）
式（5-7-5）表明：在能带底k =0附近，等能面是球面，如果以()()s E E -Γk 及*
m 分别代替自由电子的能量E 及质量m ，就可得到晶体中电子在能带底附近的能态密度函数：
*312
222()4()[()()]s m N E V E E π=-Γh
k ……………………………………………………………（5-7-6）
5．7．2 带顶附近的能态密度
能带顶在(,,)a a a πππ=k 的R 点处，容易知道，其能量为()016s E J J ε=-+k 。
以R 点附近的
图5-7-1 自由电子能态密度
波矢(,,)x y z k k k a
a
a
π
π
π
=±
+∆±
+∆±
+∆k 代入E(k )表达式中，就得到在能量极大值附近的能量表达式：
()012[cos()cos()cos()]s x y z E J J k a k a k a επππ=--±+∆+±+∆+±+∆k ………………（5-7-7）
再利用(cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，就可得到：
01()2(cos cos cos )s x y z E J J k a k a k a ε=-+∆+∆+∆k …………………………………………（5-7-8）
将式中余弦函数展开为2
cos 12x x =-+L 后，上式变成：
222
2011()2[3()]2
s x y z E J J a k k k ε=-+-∆+∆+∆k
()()()2222
*()[]2s x y z E R k k k m
=-∆+∆+∆h …………………………………………………（5-7-9）
或写成
()()()2222
*()()[]2s x y z E R E k k k m
-=-∆+∆+∆h k ………………………………………………（5-7-10）
式中2
*
21
2m a J =h ，i k ∆是波矢k 与能带顶R 的波矢之差。
所以，若以R 点为原点建立坐标系,,x y z k k k 轴，
则i k ∆的意义就与i k 的意义是一样的。
因此，式（5-7-10）表示能量极大值附近的等能面是一些以R 点为球心的球面。
这样，我们就得到能带极大值附近的态密度函数：
*312
222()4()[()()]s m N E V E R E π=-h
k …………………………………………………………（5-7-11）
虽然，式（5-7-10）和式（5-7-11）是从一个特例出发得到的，但却具有普遍意义。
也就是说，当能带极值处的有效质量是各向同性的，等能面是球面时，式（5-7-10）和（5-7-11）均适用。
5．7．3 非极值点处能态密度
当能量远离极值点时，晶体电子的等能面不再是球面。
图
5-7-2给出在0z k =截面上的简立方晶格电子等能面示意图。
从图看出，从原点（Γ点，是能带底）向外，等能面基本上保持为球面的原因在于周期性场的作用，使晶体电子能量下降，为得到与自由电子相同的能量E ，晶体电子的波矢k 就必然要大。
当能量超过边界上的A 点的能量A E 时，等能面将不再是完整的闭合面。
在顶角C 点（能量极大值处）附近，等能面是被分割在顶角附近的球面，到达C 点时，等能面缩成几个顶角点。
在能量接近A E 时，等能面向外突出，所以，这些等能面之
图5-7-2 紧束缚近似等能面
A
C
间的体积显然比球面之间的体积大，因而所包含的状态代
表点也较多，使晶体电子的态密度在接近A E 时比自由电子的显著增大（见图5-7-3）。
当能量超过A E 时，由于等能面开始残破，它们之间的体积愈来愈小，最后下降为零。
因此，能量在A E 到C E 之间的态密度将随能量增加而逐渐
减小，最后下降为零，如图5-7-3所示。
如果考虑两个没有交叠的能带的态密度，下面一个带的态密度曲线亦如图5-7-3所示，在能带顶处态密度为零。
在禁带内亦一直保持为零（因禁带内无电子的量子态存在），当能量到达上面能带的带底时，态密度才又随能量的增加而增加，如图5-7-4（a ）所示。
如果所考虑的能带
有交叠，则两能带态密度也会发生交叠，态密度函数如图5-7-4（b ）所示。
可见，交叠能带与不交叠能带的态密度函数是很不相同的，这一点，可以从软X 射线发射谱中得到证明。
当晶体受到能量约为2
3
10~10电子伏
特的电子撞击时，低能带中的一些电子被激发，因而在能带中留下空能级。
由于低能带是很窄的，可近似看作是分立能级。
当高能带中的电子落入低能带中的空能级上时，就发射出x 射线。
因这种X 射线的波长较长(约100Å)，所以，称之为软x 射线．软x 射线发射谱的强度I(E)与能量等于E 处的态密度
N(E)成正比，亦与能量为E 的电子向空能级跃迁的几率W(E)(或称发射几率)成正比，即 I (E)∝W (E)N(E) 上式中的W(E)是一个随E 连续缓变的函数，所以，可以认为，I(E)主要由E （E)
随E 的变化来决定。
也就是说，软x 射线发射谱的形状直接反映出晶体电子态密度的特征。
图5-7-5是几种典型的金属与非金属的X 射线发射谱．由图看出，各晶体的发射谱在低能方面都是随能量增加而逐渐上
升的，说明从能带底起，随着电子能量的增加，态密度逐渐增大；在高能端，金属的x 射线发射谱是突然下降的，所对应的能量大致与费米能相同；非金属的发射增则随能量增加而逐渐下降为零．这正好反映了金属与非金届的电子填充能带的状况。
金属中的电子没有填满能带，电子填
充的最高能级的能量约为F E ，态密度
()0N E ，所以，发射谱就突然下降。
镁及铝的发射谱与图5-7-4(b)的形状相似，说明这两种金属的能带有交叠。
石墨及硅的发射谱的形状则与图5-7-4（a ）相
图5-7-5 金属与非金属的X 射线发射谱
（a ） (b ) 图5-7-4 （a ）不交叠能带（b ）交叠能带
图5-7-3 自由电子与晶体中电子态密度
E
C
E
A
E 自由电子
近自由电子
似，说明这些晶体中的价电子刚好填满一个能带。
价电子处于满带之中，所以，这些晶体是绝缘体。