（一）平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系; 高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。

1.线线、线面、面面平行关系的转化:面面平行性质 IIa,a ,ba II ba b A a // bII(a//b,b//c a I Ic )V线线// 线面平行判定 线面// 面面平行判定1面面// < --------------------------- < --------------------------- a II面面平行性质 公理4 II a II , b //a ,b a II a II a IIII II II 成直二面角ababaaa//baa be oX!AO 8O/ /3.平行与垂直关系的转化:a / /b 线面垂直判定2 面面平行判定22.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：(1)找出或作出有关的角;(3)指出所求作的角；(2)证明其符合定义; (4)计算大小。

线面垂直性质2面面平行性质34.应用以上“转化”的基本思路一一“由求证想判定，由已知想性质。

5•唯一性结论：① 过直线外一点.有且只有一条直线与己知直线平行 ② 过空间一点.有且只有一条直线与已知平面垂直 ③ 过空间一点，有且只有一个平画与已知直线垂直应用中常用于反 证袪”或"同一法”(2)直线与平面所成的角： 0°<0< 90°(3)二面角：二面角的平面角0°<0< 180 °(走义法)(三垂蛭定理法)(垂面法・江棱门1.三类角的定义:(1)异面直线所成的角B:0°<0< 90 °a / /b面面线面丄线线A.60 °B.45 °C.30 °D.120 °解：取AC 中点G ，连结EG 、FG ，贝U1 1EG // — PC , FG // — AB2 2•••/ EGF 为AB 与PC 所成的角 在厶EGF 中，由余弦定理，/EG 2 FG 2 EF 2 52 32 7 1 cos Z EGF2 • EG • FG2 5 32• AB 与PC 所成的角为180° - 120°= 60° •••选 A3B. -6由题意：丄4 12【典型例题】（一）与角有关的问题 例1.（1）如图，E 、F 分别为三棱锥 P — ABC 的棱AP 、BC 的中点，PC = 10, AB = 6, EF = 7,则异面直线AB 与PC 所成的角为（）设正四棱锥的高为解：斜高为h'（2 ）已知正四棱锥以棱长为 1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正 四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（）① 点P 到平面QEF 的距离为定值；② 直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值; ③ 二面角P — EF — Q 的大小为定值； ④ 三棱锥P — QEF 的体积为定值 其中正确命题的序号是二A 1D 1上定点P 到面A 1B 1CD 的距离为定值•••①对，②错二面角P — EF — Q ,即面PDF 与面A 1B 1CD 所成的角，且平面角/ PDA 1为定 值，.••③对因为A 1B 1 // DC ,且EF 为定值，• S QEF 为定值又P 点到平面QEF 的距离为定值，• V P QEF 为定值，•④对综上，①③④正确。

例2.图①是一个正方体的表面展开图， MN 和PQ 是两条面对角线，请在图(2)的正方体中将PQ 画出来，并就这个正方体解答下列各题：(1 )求MN 和PQ 所成角的大小；(2)求四面体 M — NPQ 的体积与正方体的体积之比；1侧棱长PB . h 2OB 26 2<26 1■ 222• cos Z PBO OB2 .13PB.26132选A(3)如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1 D 1中，P 为A 1D 1上的一个定点， Q 为2E 、F 为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，有下列命题:A 1B 1上的任意一点,解:平面QEF 即是平面A 1B 1CDMN ，O5 6AB23(3)求二面角M — NQ — P 的大小。

Nz zC图①•••/ MEO = 60°即二面角M — NQ — P 的大小为60°。

解：(1)如图②，作出MN 、PQ•/ PQ // “6又厶MNC 为正三角形 •••/ MNC = 60°••• PQ 与MN 成角为60(2)V MNPQV Q PMN13S PMN • MQ 316 2S PMN MQ16S pMDN • MQ正方体即四面体M — NPQ 的体积与正方体的体积之比为 1: 6(3)连结MA 交PQ 于0点，贝U MO 丄PQ又NP 丄面PAQM ,• NP 丄MO ，贝U MO 丄面PNQ 过O 作OE 丄NQ ，连结 ME ，贝U ME 丄NQ •••/ MEO 为二面角 M — NQ — P 的平面角 在 Rt △ NMQ 中，ME • NQ = MN • MQ设正方体的棱长为 aME2a • a ..3a在Rt MEO 中，sin / MEOMO ME例3.如图，已知四棱锥 P —ABCD , PB 丄AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面 ABCD 为菱 形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°。

(1) 求点P 到平面ABCD 的距离；(2) 求面APB 与面CPB 所成二面角的大小。

•/ AD 丄 PB , • AD 丄 OB （根据•/ PA = PD ,. OA = OD于是OB 平分AD ，点E 为AD 中点• PE 丄 AD•Z PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角• Z PEB = 120 °,Z PEO = 60°:3 3又PE ,3, • PO PEsin60°-.3 • 二 -2 2即为P 点到面ABCD 的距离。

(2)由已知ABCD 为菱形，及△ PAD 为边长为2的正三角形 PA = AB = 2，又易证 PB 丄 BC 故取PB 中点G , PC 中点F 则 AG 丄 PB , GF // BC 又 BC 丄 PB ,. GF 丄 PB•••/ AGF 为面APB 与面CPB 所成的平面角 •/ GF // BC // AD ，•/ AGF = n-Z GAE连结GE ，易证 AE 丄平面POB解：(1)作PO 丄平面 E ,连结PE23又PE BE 、、3, G 为PB 中点 1••Z PEG Z PEB 60o2 • GE PEcos60°.3 丄止2 21 7在 Rt AGE 中，AE AD 12•/ tan Z GAE £1AE、:3 2/•Z GAEarctan —32 /•Z AGFarcta n —32所以所求二面角的大小为arcta^l2(2)解法2:如图建立直角坐标系，其中 O 为坐标原点,x 轴平行于 DAP ( 0，0，3)，B ( 0,PB 的中点G 的坐标为(0 ,3丁3 35，连结AG又 A ( 1, 0)，C (3-3 2由此得到 GA(1， PB(0，i )，BC (于是GA -PB0, BC -PB•/ GA 丄 PB ， BC 丄 PB•/ GA 、 BC 的夹角为所求二面角的平面角于是cosGA • BC |GA| • |BC|/所求二面角大小为2历arccos —(二)与距离有关的问题 例4.(1)已知在△ ABC顶点的距离都是14,那么点中，AB = 9，AC = 15，Z P 到平面ABC 的距离是(BAC = 120°， )它所在平面外一点 P 到厶ABC 三个A. 13B. 11C. 9D. 7解：设点P 在厶ABC 所在平面上的射影为 OPA = PB = PC ,「. O ABC 的外心△ ABC 中，AB = 9, AC = 15,/ BAC = 120°••• BC . 92 152 2 9 15 cos120o21a 由2R ，二 Rsi nA••• PO 142 7.3 2 7(2)在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，AB BC . 2 , BB 1 2, / ABC90O ，E 、F 分别为AA 1> C 1B 1的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的 长度为 ______________ 。

解：(采用展开图的方法)将平面B 1BCC 1沿B 1B 旋转使两矩形A 1ABB 1与B 1BCC 1在同一平面内 连接EF ，则EF 为所求的最短路径7：3C21 252CBBi F Cj图①如图①，EF如图②展开, EF 如图③展开, EF Bi图②123 2 2（2）21 ；比较这三种方式展开，可见沿表面从 Ci2 图③22E 到F 的最短路径长度为点评：此类试题，求沿表面运动最短路径， 应比较其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。

应展开表面为同一平面内, 32。

2则线段最短。

但必须注意的是,（3）在北纬45°圈上有甲、 则甲、乙两地的球面距离是（ 与西经130 °，设地球半径为 R ，A- R B.丄R 4o乙两地，它们的经度分别是东经 140° 由题意ZAO 1B 解: 1（O 1为小圆圆心）360 14013090又由题意0小 O 1B-2R2则 1AB 中，AB R•••△ AOB 为正三角形（O 为球心）3/.z AOB/A 、 B 两点球面距离为 —R3•••选 D例5.如图，四棱锥 P — ABCD ，底面 ABCD 是矩形，PA 丄平面ABCD , E 、F 分别是AB 、PD 中点。

(1) 求证：AF //平面PEC ;(2)若 AD = 2 , CD 2.. 2，二面角 P — CD — B 为 45°，求点 F 到平面 PEC距离。

1 1• FG / - CD ，又 AE / - CD2 2 • FG // AE•四边形AEGF 为平行四边形• AF // EG ,又EG 面PEC ，AF 面PEC• AF //平面 PEC(2) T CD 丄 AD ，又 PA 丄面 ABCD• AD 为PD 在面 ABCD 上射影• CD 丄 PD• Z PDA 为二面角 P — CD — B 的平面角，且Z PDA = 45 则厶PAD 为等腰直角三角形 • AF 丄PD ，又 CD 丄平面 PAD • CD 丄 AF • AF 丄面PCD作FH 丄PC 于H ，贝U AF 丄FH 又 EG // AF ，• EG 丄 FH• FH 丄面PEC ，「. FH 为F 到面PEC 的距离在 Rt △ PEG 中，FH • PG = PF • FG•FH恵＜21「22 22 1方法2:(体积法)解：G 为PC 中点，连结 又••• F 为PD 中点FG 、EG•/AF //面PEC ,故只要求点 A到面PEC 的距离d1 1由 VV 即 S • d S • PAA PECP AECPECAEC33易证AF 丄面PCD ,••• EG 丄面PCD ••• EG 丄 PCSPEC1 PC • EG 1 ■ 22 2 2 2 22 、2 2 2 22SAEC1 AE BC 1 .2 2 2 22S AEC• PA2 2 1 d S PEC2、2 1（三）对命题条件的探索解: •/ PA 丄面 ABCD , PE 丄 DE由三垂线定理的逆定理知 PE 的射影AE 丄BE所以满足条件的点 E 是以AD 为直径的圆与BC 的交点，要有两个交点，则 AD > 2AB = 6 •••选 A（2）如图，在三棱柱 ABC — A'B'C'中，点E 、F 、H 、K 分别为 AC'、CB'、A'B 、B'C'的中点， ABC 的重心，从K 、H 、G 、B'中取一点作为P ,使得该棱柱恰有 2条棱与平面PEF 平行，则P 为分析：从题目中的“中点”条件，联想到“中位线”例6. （ 1）如图已知矩形ABCD 中，AB = 3, BC = a ,若PA 丄平面 ABCD ，在 BC 边上取点 E 使PE丄DE ,则满足条件 E 点有两个时, A. a 6C. 0 a 6B.a 6 D. 0 a 6A. KB. HC. GD. B a 的取值范围是（ )C 1而平面PEF 中，EF 为定直线，连 BC'则F 为BC'中点故 AC'B 中，EF // AB AB //平面 PEF , A'B' //平面 PEF考虑到若P 为K 点，则还有AA'、BB'、CC'都平行于FK 即它们也都平行于平面 PEF ，不合题意。