周期信号一般是功率信号，其平均功率为
T 10 Tf2(t)d t(A 2 0)2 n 11 2A n 2 n | F n|2
直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。
n≥0时， |Fn| = An/2。
证明
这是Parseval定理在傅里叶级数情况下的具体体现。
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§2.2 傅里叶级数
• 傅里叶级数的三角形式 • 波形的对称性与谐波特性 • 傅里叶级数的指数形式 • 周期信号的功率——Parseval等式
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一、傅里叶级数的三角形式
1.三角函数集
{1,cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}
在一个周期内是一个完备的正交函数集。
由积分可知
T
2Tconstsinmtdt0
推导
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傅里叶系数之间关系
F nF nen1 2A nejn1 2(a njb n)
Fn
1 2
an2bn2 1 2An
anAncosn
n arctanabnn
bnAnsinn
n的偶函数：an ， An ， |Fn |
n的奇函数: bn ，n
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四、周期信号的功率——Parseval等式
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三、傅里叶级数的指数形式

三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感 不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。
虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}
f (t) Fn ejnt
n
系数Fn
称为复傅里叶系数
1
Fn
T
T 2 T
f (t)ejnt
dt
2
利用 cosx=(ejx + e–jx)/2可从三角形式推出：
f(t)a 2 0n 1anco n s t) (n 1b nsin n t)(
系数an , bn称为傅里叶系数
an
2 T
T
2 T
2
f(t)cons (t)dt
bn
2 T
T
2 T
2
f(t)sinn (t)dt
可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
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2
T
2Tcon stc 2
om s td t T 2,
0,
mn mn
T 2T 2sin tsin m td t T 2 0,,
mn mn
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2．级数形式
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足 狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级 数—— 称为f(t)的傅里叶级数
二、波形的对称性与谐波特性
an
2 T
T
2 T
2
f(t)cons (t)dt
bn
2 T
T
2 T
2
f(t)sinn (t)dt
1 .f(t)为偶函数——对称纵坐标
f (t) f (t)
bn =0，展开为余弦级数。
2 .f(t)为奇函数——对称于原点
f(t)f(t)
an =0，展开为正弦级数。
例
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