教学过程课堂导入以前台胞春节期间来大陆探亲，乘飞机先从台北到香港，再从香港到上海.20XX年7月4日，两岸直航包机启航．若台北到香港的位移用向量a表示，香港到上海的位移用向量b表示，台北到上海的位移用向量c表示．想一想，向量a、b、c有何关系？复习预习1．我们已经学习过位移、速度、力等，你能总结出它们的特点吗？特点为________________________________．2．在学习三角函数线时，我们已经学习过有向线段了，你还记得吗？所谓有向线段就是________________________，三角函数线都是_____________．知识讲解考点1 向量的有关概念考点2 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a(2)结合律：(a＋b)＋c＝a ＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ) a(λ＋μ)a＝λa＋μaλ(a＋b)＝λa＋λb考点3 共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.例题精析 【例题1】【题干】设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.【例题2】【题干】如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB ＝13OB .设OA uu u r ＝a ，OB uuu r ＝b ，用a ，b 表示向量OC u u u r ，DC u u u r .【解析】OC u u u r ＝OB uuu r ＋BC uuu r ＝OB uuu r ＋2BA uu u r＝OB uuu r ＋2(OA uu u r －OB uuu r )＝2OA uu u r －OB uuu r＝2a －b . DC u u u r ＝OC u u u r －OD u u u r ＝OC u u u r －23OB uuu r＝(2a －b )－23b＝2a －53b .【例题3】【题干】已知a ，b 不共线，OA uu u r ＝a ，OB uuu r ＝b ，OC u u u r ＝c ，OD u u u r ＝d ，OE uuu r＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．【解析】由题设知，CD uuu r ＝d －c ＝2b －3a ，CE uuu r＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE uuu r ＝k CD uuu r，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．课堂运用 【基础】1.如图，已知AB u u u r ＝a ，AC uuu r ＝b ，BD u u u r ＝3DC u u u r ，用a ，b 表示AD u u u r ，则AD u u u r＝( ) A ．a ＋34b B.14a ＋34b C.14a ＋14bD.34a ＋14b解析：选B ∵CB u u u r ＝AB u u u r －AC uuu r ＝a －b ，又BD u u u r＝3DC u u u r ，∴CD uuu r ＝14CB u u u r ＝14(a －b )，∴AD u u u r ＝AC uuu r ＋CD uuu r ＝b ＋14(a －b )＝14a ＋34b .2．已知向量p ＝a |a |＋b|b |，其中a 、b 均为非零向量，则|p |的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[0,1] C ．(0,2]D ．[0,2]解析：选D a |a |与b|b |均为单位向量，当它们同向时，|p |取得最值2，当它们反向时，|p |取得最小值0.故|p |∈[0,2]．3．(2013·保定模拟)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AMu u u u r＝x AB u u u r ，AN uuu r ＝y AC uuu r ，则x ·y x ＋y的值为( )A ．3 B.13 C ．2D.12解析：选B (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底面BC 的直线，易得x ·y x ＋y ＝13.【巩固】4．在▱ABCD 中，AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，AN uuu r ＝3NC uuu r ，M 为BC 的中点，则MN u u u u r ＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN uuu r ＝3NC uuu r 得4AN uuu r ＝3AC uuu r ＝3(a ＋b )，AM u u u u r ＝a ＋12b ， 所以MN u u u u r ＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b5．(2013·淮阴模拟)已知△ABC 和点M 满足MA u u u r ＋MB u u u r ＋MC u u u u r ＝0.若存在实数m 使得AB u u u r ＋AC uuu r ＝m AM u u u u r 成立，则m ＝________.解析：由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则AM u u u u r ＝23AD u u u r ，因为AD 为中线，则ABu u u r ＋AC uuu r ＝2AD u u u r ＝3AM u u u u r ，所以m ＝3.答案：3【拔高】6.如图所示，在五边形ABCDE 中，点M 、N 、P 、Q 分别是AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 和L 分别是MN 和PQ 的中点，求证：KL uu u r ＝14AE u u u r.证明：任取一点O ，KL uu u r ＝OL u u u r －OK uuu r .∵K 、L 为MN 、PQ 的中点．∴OK uuu r ＝12(OM uu u u r ＋ON uuu r )，OL u u u r ＝12(OP uuu r ＋OQ uuu r)．又∵M ，N ，P ，Q 分别为AB ，CD ，BC ，DE 中点，∴OM u u u u r ＝12(OA u u u r ＋OB uuu r )，ON uuu r ＝12(OC uuu r ＋OD uuu r)，OP uuu r ＝12(OB uuu r ＋OC uuu r )，OQ uuu r ＝12(OD uuu r ＋OE uuu r)．∴KL uu u r ＝OL u u u r －OK uuu r ＝12[－(OM u u u u r ＋ON uuu r )＋(OP uuu r ＋OQ uuu r)]＝14[－(OA u u u r ＋OB uuu r ＋OC uuu r ＋OD uuu r )＋(OB uuu r ＋OC uuu r ＋OD uuu r ＋OE uuu r)]＝14(－OA u u u r ＋OE uuu r )＝14AE u u u r .7．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB u u u r ＝e 1－e 2，BC uuu r ＝3e 1＋2e 2，CD uuu r ＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；(2)如果AB u u u r ＝e 1＋e 2，BC uuu r ＝2e 1－3e 2，CD uuu r ＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：∵AB u u u r ＝e 1－e 2，BC uuu r ＝3e 1＋2e 2，CD uuu r ＝－8e 1－2e 2，∴AC uuu r ＝AB u u u r ＋BC uuu r ＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD uuu r ，∴AC uuu r 与CD uuu r 共线．又∵AC uuu r 与CD uuu r 有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线．(2) AC uuu r ＝AB u u u r ＋BC uuu r ＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线，∴AC uuu r 与CD uuu r 共线，从而存在实数λ使得AC uuu r ＝λCD uuu r ，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.课程小结(1)向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．。