为数值上升的第一点，则单峰区间可定义为：
s X
(k )
2 h
l 1
e X
(k )
2 h
l 1
2l 1 h
2l h 2l 1 h
现代设计方法
（2）进退法（应用场合较多） 包含最优点的单峰区间[s ,e]内，目标函数值呈现 “大—小—大”的U字形。
假设 (1) <(2)< (3) 为三个相邻点，若
其中： 表示步长因子 (k)表示最优步长因子
现代设计方法
3.一维搜索的几何意义 从X(k)出发，沿方向 S(k)进行一 维搜索，就是求方向S(k)与等 值线的切点，此时的步长因子
X*
X ( k 1) X (k )
x2
即为最优步长因子。
( X(k)与X(k+1)之间的距离）
S (k )
x1
现代设计方法
输出初始单峰区间为[a,b]=[1,7]
采用不同的初始点、不同的初始步长得到的初始单 峰区间可能不一样，但只要这个单峰区间包含极小 点，就是正确的。
现代设计方法
二、一维搜索方法
1. Fibonacci法（分数法）
F(0)= F(1)=1, F(n)= F(n-1)+ F(n-2)(n≥2)
Fibonacci法是按照上式产生的Fibonacci数F(n)，确定 缩短率(n)=1/F(n)
现代设计方法
“一维”的含义
“一维”是指 “一个方向”（S(k)）； X ( k ) 寻找目标函数在指定方向上的极小点，在计算上 就是从 X(k)沿 S(k)前进多少的问题，即求步长因 子(k)的问题。从这个意义上讲，一维搜索是一个
求解关于 的单元目标函数的过程。
一维搜索 寻找合适的 (k) ，使 f (X(k)+ (k) S(k))最小
当 0 K S
1
时，试验步长 h = K；否则取 h S
1
S 是通过某种优化方法已经确定的目标函数值下降方向
现代设计方法
将 ( k ) S 0, h, 2h, 22 h, 目标函数计算。
, 2 h, 2 h, 2 h,
l 1
l
l 1
分别代入
(k ) l 1 设 ( k ) S 2l h 为函数值下降的最后一点， S 2 h
F F ( n) ( n 1) ( n 2) ( n 1) ( n 2) 1, F F F , F F ( n) ( n) F F
( n 1)
( n 2)
现代设计方法
上式推导过程如下：
as(0)
1
a1(0)
1
a2(0)
ae(0)
( n 1) (n) F ( n 1) (n) F ( n 1) , F ( n ) ( n ) ( n 1) F (0) (0) (0) (0) (0) (0) (n) e s 2 s 2 s ( n 1) ( n) ; ( n 1) (0) (0) l l e s l：原搜索区间长度 (0) ( n 1) 2 s(0) F ( n 1) F (0) (0) (0) (0) (0) 2 s e s (0) ( n) ( n) e s F F
现代设计方法
as(k)
a1(k)
a2(k)
ae(k)
如果 f(2(k) )>f(1(k))，则探索区间[s(k),e(k)]缩短为 [s(k),2(k)]，同时2(k+1) =1(k)；
如果 f(2(k) )≤f(1(k))，则探索区间[s(k),e(k)]缩短为
[1(k),e(k)]，同时1(k+1) =2(k)；
采用Fibonacci数列确定区间内计算点的位置及所对应 的缩短率 (n) ，迭代步骤如下：
现代设计方法
1）按照缩短率 (n)小于相对精度 ，计算点的个数n。

(n)
1 1 ( n) ( n ) F 进而求出点的个数 n。 F
n:根据计算精度确定的,最多需要迭代的次数
(k)+h]，否则将步长加倍并按前进算法重复上述运算。
后退方向
a(k ) h
a ( k ) a(k ) h
现代设计方法
Eg:试用进退算法确定函数f(x) =x2-6x+9 的初始搜索
区间[x1,x2] ，设初始点x0=0 ，初始步长h=1。
解：最后的迭代结果为
x1=1,x2=3,x3=7,f1=4,f2=0,f3=16
一维搜索的几何意义
常用一维搜索方法：进退法、黄金分割法、
平分法和切线法
现代设计方法
一、概述
1.一维搜索的概念 数值迭代过程中，任何一次迭代，总是从某个已 知点X(k) 出发，沿着给定的方向 S(k) （用某种优 化方法确定）搜索到目标函数在该方向上的极小 值点 X(k+1) ，这个过程称为一维搜索。 一维搜索不仅可以求解一维优化问题，同时也是 求解多维优化问题的基本步骤。
f((1) )>f((2))< f((3))
则[(1),(3)]是一个包含极小点的区间。
现代设计方法
前进算法：将(k) 和(k) +h代入目标函数，如果 f((k) )>f((k)+h)，则将步长增加一倍(步长为2h), 得 到下一个点(k)+3h。比较相邻三点函数值： 如果 f((k)+h)< f((k)+3h)，则探索区间[s ,e]为[(k),
2）选出计算点，第一次时按照以下公式选取两个计 算点，并根据它们的函数值大小确定新区间及下一步 该继承的点。
现代设计方法
( n 1) (0) F (0) (0) (0) 2 s s (n) e F ( n 2) ( n 1) F F (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 1 s s e s ( n) e ( n) e F F
现代设计方法
第三章
优化设计
Optimization Design
现代设计方法
本章主要内容
优化设计概述 优化问题的数学分析基础 一维探索优化方法
无约束多维问题的优化方法
约束问题的优化方法
多目标函数的优化方法
LINGO在优化设计中的应用
现代设计方法
3.3
一维探索优化方法
一维搜索的数学形式
去掉函数值大的内分点到与之同侧的端点之间的区间长度
现代设计方法
a
x1
x2
b
a
x1
x2
b
[x1,b]
[a, x2]
现代设计方法
6.探索区间(初始单峰区间）的确定
（外推法、进退法）
一维问题的探索方向是确定的，一维探索实际是求 可行域内的最优步长 (k),使目标函数值达到最小， 首先必须确定包含最优点的可行域[s ,e]。
x1
x*
x2
x
现代设计方法
单峰区间的特点：
单峰区间内，在极小点的左边，函数是严格减少
的，在极小点的右边，函数是严格增加的；
如果区间[a,b] 是一个单峰区间，x是区间内的一
点，则f(x)<f(a) 和 f(x)<f(b)两个不等式中必有一个
成立；
单峰区间内的函数图形表现为“高－低－高”的
形态。应用这一特征可以确定单峰区间。
现代设计方法
注意：
如果函数具有多个极小点，则表现为多峰函数。此时，
需要对变量取值范围进行适当的划分，使每一个子空 间只包含一个极小点，才能进行一维搜索。一维搜索 时，同样需要在每个子空间内寻找单峰区间。
现代设计方法
5.一维搜索的基本思想 一维搜索就是要在初始单峰区间中求单峰函数的
现代设计方法
2.一维搜索的数学形式 任何一次迭代，都是求
X
( k 1)
X
(k )

(k )
S
(k )
使得 f ( X ( k 1) ) min f ( X ( k ) S ( k ) ) 即
f ( X ( k ) ( k ) S ( k ) ) min f ( X ( k ) S ( k ) )
现代设计方法
如果 f(2(0) )>f(1(0))，则探索区间[s(0),e(0)]缩短为 [s(0),2(0)]，同时2(1) =1(0)； 如果 f(2(0) ) ≤f(1(0))，则探索区间[s(0),e(0)]缩短为 [1(0),e(0)]，同时1(1) =2(0)；
现代设计方法
3）按照下面的迭代公式进行下一次迭代，并进行与 2）
完全相同的判断和操作。
( n k 1) (k ) F (k ) (k ) (k ) 2 s s (nk ) e F ( n k 1) F (k ) (k ) ( k ) ( k ) 1 e s (nk ) e F
极小点。所以找初始单峰区间是一维搜索的第一
步，然后将初始单峰区间逐步缩小，直至包括极
小点的区间长度小于给定的一个正数，此称为 收敛精度或迭代精度。 假设第k次得到的区间[a(k),b(k)] ，若 b(k) - a(k) ， 则可取 x*=[a(k) + b(k)]/2作为极小点。
现代设计方法
现代设计方法
或
(n)
e(0) 1(0)
l
, ( n 1)
e(0) s(0)
l
( n ) e(0) 1(0) F ( n 1) ( n 1) (0) ( n) (0) e s F