解： f (x) 2x 1,令f (x) 0,解得x 1 .列表 2
x
f (x) f (x)
(, 1 ) 2
1
2
0
极小值f (1) 2
( 1 ,) 2
因此,当x
1 2
时,
f ( x ) 有 极 小 值 f (12 )
9 4
.
小结：求函数f(x)的极值的步骤:
(1)求导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根；(x为极值点.)
1 6
4、求y ex cos x的极值．
解 : y ex cos x sin x,令y 0,
即cos x sin x 0得,x k k Z ,
4
当x
2k
4
, 2k
5
4
k
Z
时,y
0,
f
x 为减函数,
当x
2k
3
4
,
2k
4
k
Z
时,y
0,
f
x 为增函数,
因此当x=2k
4
k
Z
时,
y极大值
2
2k
e
4
,
2
当x=2k
3
4
k
Z
时,
y极小值
2
2k
e
3
4
.
2
五、课堂小结
求函数f(x)的极值的步骤:
(1)求导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根；(x为极值点.)
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间，并 列成表格.检查f′(x)在方程根左右的 值的符号，求出极大值和极小值.
X1
X1右侧
f (x) f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
f (x) 增
极大植f(x1)
减
极小值与导数之间的关系
X
X2左侧
X2
X2右侧
f (x) f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
f (x) 减
极小植f(x2)
增
（三）、导数的应用
例１：求f（x）＝x２－x－２的极值.
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
f (x) +
0
－
0
+
f (x)
↗
28
极大值3
↘
极小值
4 3
↗
∴当x=－2时，y有极大值且y极大值= 28 当x=2时，y有极小值且y极小值= 4 3
3
例3:下列函数中，x=0是极值点的函数
是( B )
A.y=－x3
B.y=x2
C.y=x2－x
如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小， 我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记作y极小值 =f(x0)，x0是极小值点。
极大值与极小值统称为极值.
注意 1、在定义中，取得极值的点称为极值 点，极值点是自变量(x)的值，极值指 的是函数值(y)。
2、极值是一个局部概念，极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最大 或最小,并不意味着它在函数的整个的定义 域内最大或最小。
则f(x)无极值 D.函数f(x)在区间(a，b)上一定存在最值
2、函数 f (x) a sin x 1 sin 3x 在
x 处具有极值，3求a的值
3
分析：f(x)在 x 处有极值，根据一点是极值点的
必要条件可知， f 3'( ) 0可求出a的值.
3
解： f '(x) (a sin x 1 sin 3x) ' a cos x cos 3x3∵来自f'(
)
0
，
3
∴
a cos
cos(3
)0
1
a 1
0
3
3
2
∴a=2.
3、y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值，
求a、b的值．
解：y ' (a ln x bx2 x) ' a 2bx 1 x
因为在x=1和x=2处,导数为0
∴
a 2b 1 0
a 2
4b
1
0
a
2 3
b
D.y=1/x
分析：做这题需要按求极值的三个步骤， 一个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断
x=0是否是极值点，只要看x=0点两侧的导数是否
异号就可以了。
四、课堂练习
1、下列说法正确的是( C )
A.函数在闭区间上的极大值一定比 极小值大
B.函数在闭区间上的最大值一定是 极大值
C.对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|＜ 6 ，
函数的极大值与极小值
一、知识回顾：
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可 导，则函数在该区间
如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
一、知识回顾：
根据导数确定函数的单调性的步骤：
1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间;
3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间 上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一 个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，
x1 是极大值点，x4是极小值点，而 f (x4 ) f (x1)
（二）、极值与导数的关系 极大值与导数之间的关系
X
X1左侧
解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.
一、知识回顾：
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0, 则f(x)为常数函数.
当x=x0时, f′(x0)=0,且当x＜x0与x＞x0时 f′(x0)异号，则函数在该点单调性发生改变.
二、构建数学
三、新课讲授
（一）、函数极值的定义
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义， 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我 们就说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)， x0是极大值点。
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间，并 列成表格.检查f′(x)在方程根左右的 值的符号，求出极大值和极小值.
例２：求 y 1 x3 4x 4 的极值
解：y
'
(1
x3
3
4x
4)
'
x2
4
(
x
2)( x
2)
3
令y′=0，解得x1=－2，x2=2
当x变化时，y′，y的变化情况如下表