−
1
−
i) .
求 f 在 z0 = 1/2 处的 Taylor 级数的收敛半径.
1
3. 是否存在在开单位圆盘 U 内全纯的函数 f , 满足 | f (z)| = e|z|, ∀z ∈ U ?
面试问题
1. 什么是热传导方程? 写出它的解, 并在黑板上推算出来, 它的解有什么性质? 2. 柯西问题是什么? 3. 椭圆方程是什么? 4. 代数基本定理是什么? 在黑板上证明一下. 5. 有没有旁听量子力学的课? 6. 刘维尔定理是什么? 用刘维尔定理来证明代数基本定理. 另外一些同学的面试问题是求不定积分, 常微分方程等.
构的.
(
)
2. 设 V 为全体 2 阶对称复方阵构成的复线性空间, 设 A =
01 10
. 定义线性变换
A : V → V 使得 A(X) = AX + XA. 试求 A 的全部特征值以及相应的特征向量.
3. 考 虑 n 阶 对 称 方 阵 A, 其 元 素 由 整 数 组 成. 设 A 满 足 条 件 zAz′ > 0, 其 中 z = (z1, z2, · · · , zn) 为任意由 n 元非负整数组成的非零行向量, z′ 表示其转置. 试证明:
线性代数 (三选二)
1. 考虑实数域上的有限维线性空间 V, 以及 V 的两个线性子空间 U 和 W 满足 U ∩ W = 0.
任取 U 的补空间 U′, 即 V = U ⊕ U′. 定义投影映射 p : V → U′, p(v) = u′, 其中
v = u + u′ 使得 u ∈ U, u′ ∈ U′. 证明: 映射 p 是线性映射, 且线性空间 p(W) 与 W 是同
(1) 不等式 zAz′ ≥ 0 恒成立, 其中 z 为任意的由 n 元非负实数组成的行向量; (2) 不等式 zAz′ ≥ 0 恒成立, 其中 z 为任意的由 n 元 (非零) 正实数组成的行向量.
复变函数 (三选二)
1. 计算积分 ∫ 2π ee2it−3itdt ;
0
2. 设
f
(z)
=
(z2
1 + 1) (z
2
S
轴正方向夹角为锐角.
2.
已知
f ′(x)
连续,
f (0)
= 0,
f ′0∫101f
(x2
) t
dt
f (xt) dt
.
3. 设 f (x) 在区间 [0, +∞) 上有连续的导函数, f (0) = 0, 且 | f (x) − f ′(x)| ≤ 1. 求证: | f (x)| ≤ ex − 1, x ∈ [0, +∞) .
中国科学技术大学 数学科学学院 2015 ( HUST 版)
2015 年 5 月 17 日
数学分析 (三选二)
1. 计算下列积分
∫
(1) √
1√
dx;
∫∫ x + 1 + x − 1
(2) (2x + z) dydz + zdxdy, 其中 S 为有向曲面 z = x2 + y2(0 ≤ z ≤ 1), 其法向与 z