因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102练习：分解因式1、bc ac ab a -+-22、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-22例4、分解因式：2222c b ab a -+-练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+ （11）abcb ac c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 3333-++四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .例5、分解因式：652++x x例6、分解因式：672+-x x练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b1 -16b 8b+(-16b)= -8b解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++=)16)(8(b a b a -+练习8、分解因式(1)2223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)226b ab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x 1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy练习9、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a综合练习10、（1）17836--x x （2）22151112y xy x --（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a（5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m （7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++（9）10364422-++--y y x xy x （10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2222五、换元法。
例13、分解因式（1）2005)12005(200522---x x（2）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++ 解：（1）设2005=a ，则原式=a x a ax ---)1(22 =))(1(a x ax -+=)2005)(12005(-+x x（2）型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=222)65)(67(x x x x x +++++设A x x =++652，则x A x x 2672+=++∴原式=2)2(x A x A ++=222x Ax A ++=2)(x A +=22)66(++x x练习13、分解因式（1）)(4)(22222y x xy y xy x +-++（2）90)384)(23(22+++++x x x x （3）222222)3(4)5()1(+-+++a a a例14、分解因式（1）262234+---x x x x观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。
这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式=)1162(222x x x x x +---=[]6)1()1(2222-+-+x x xx x 设t x x =+1，则21222-=+t x x∴原式=[]6)2222---t t x （=()10222--t t x =()()2522+-t t x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+215222x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21··522·x x x x x x =()()1225222+++-x x x x=)2)(12()1(2--+x x x（2）144234+++-x x x x解：原式=22241(41)x x x x x -+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+1141222x x x x x 设y x x =-1，则21222+=+y xx∴原式=22(43)x y y -+=2(1)(3)x y y --=)31)(11(2----x x x x x =()()13122----x x x x练习14、（1）673676234+--+x x x x（2）)(2122234x x x x x +++++六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式（1）4323+-x x解法1——拆项。
解法2——添项。
原式=33123+-+x x 原式=444323++--x x x x=)1)(1(3)1)(1(2-+-+-+x x x x x =)44()43(2++--x x x x =)331)(1(2+-+-+x x x x =)1(4)4)(1(++-+x x x x =)44)(1(2+-+x x x =)44)(1(2+-+x x x =2)2)(1(-+x x =2)2)(1(-+x x（2）3369-++x x x解：原式=)1()1()1(369-+-+-x x x=)1()1)(1()1)(1(333363-++-+++-x x x x x x =)111)(1(3363+++++-x x x x =)32)(1)(1(362++++-x x x x x练习15、分解因式（1）893+-x x （2）4224)1()1()1(-+-++x x x （3）1724+-x x （4）22412a ax x x -+++（5）444)(y x y x +++ （6）444222222222c b a c b c a b a ---++七、待定系数法。
例16、分解因式613622-++-+y x y xy x分析：原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++解：设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+613231mn m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m∴原式=)32)(23(+--+y x y x例17、（1）当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式。