第四章
不定积分 不定积分的第二类换元法
定理 设
是单调可导函数, 且
具有原函数, 则有换元公式
其中 t 1( x)是 x (t)的反函数.
证 设 f [ (t)] (t)的原函数为(t), 令F ( x) [ 1( x)]
则
F ( x)
d dt d t dx
f [ (t)] (t)
1((tt))
a
0
f
(t)d t
a
0
f (x)dx
a
0 [ f ( x) f (x)]dx
令 x t
当 f ( x) f ( x)时
当 f ( x) f ( x)时
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例4 填空
2
sin 5x cos 7 x d x
2
0.
例5 填空
d dx
x
0
sin100
(
x
t)
d
t
_s_in__10_0_x__
2. 常用基本积分公式的补充 (P203)
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例6
求
xd x d x. 3x2 4
解
原式
1 6
d(3 x 2 3x2
4) 4
1 3
3x2 4 C.
例7 求
解
I
1 2
d (2x) 1 ln 2x (2x)2 32 2
4x2 9 C.
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x
a
时,
t
2
.
y
∴
原式 = a2
2 cos2 t d t
0
y a2 x2
a2 2
2 0
(1
cos
2
t)d
t
o ax
a2
(
t
1
sin
2t
)
2
22
0
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例2
计算
1 1/
2
arcsin x(1
x x)
d
x
解 令 x t, x t 2 , d x 2t d t,
x : 1 1; t : 1 1;
2
2
原式
2
1 1/
2
arcsin t d t 1 t2
1
21/
arcsin t darcsin t
2
arcsin2
t
1 1/
2
3 2
16
.
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对称区间
例3
偶倍奇零
(1) 若
则
a
a
f
( x)dx
a
20
f
( x)dx
(2) 若
则
a
a
f
(
x)dx
0
证
a
0
a
a f ( x)dx a f ( x)dx 0 f ( x)dx
u : 1 1; x
左边
1 x
1
1 t2
dt
1
1/
x
1
1 (1 /
u)2
(
1 u2
)d
u
1/ 1
x
1 1 u2
du
1/ 1
x
1
1 x2
d
x
右边
.
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内容小结
定积分的换元积分法
f [ (t)] (t)
f (x)
f ( x)dx F ( x) C [ 1( x)] C
[ft][ (Ct)]t (t)d1t( xt) 1( x)
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例1 求
解 令 x a tant , 则
x2 a2 a2 tan2 t a2 a sec t
dx a sec2 t d t
dx cos t d t
原式
sin4 t cos3 t
cos t d t
(1 cos2 t )2 cos2 t
dt
1
t
x
1
2
cos2 t cos 2
t
cos
4
t
d
t
1 x2
tan t 2t 1 (t 1 sin 2t) C
sin 2t 2sin t cos t
x
22 3 arcsin x 1 x
分析 令 u x t , 则
x sin100( x t) d t 0sin100 ud u
0
x
求导即得.
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例6
证明
1
x
1
1 x
2
dx
1/ x 1
1
1 x
2
dx
证
左边
1 x
1
1 x2
dx
1 x
1
1 t
2
dt
令t 1, u
d
t
1 u2
d
u,
t : x 1;
∴ 原式
a sec2 t a sec t
dt
sec t d t
ln sect tant C1
ln
x2 a2
x a
C1
x2 a2 x t a
(C C1 ln a)
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例2
求
x4 dx . (1 x2 )3
解 令 x sin t , 则 1 x2 1 sin2 t cos t
(3) f ( x , a2 x2 )dx , 令 x a sin t
(4) f ( x , a2 x2 )dx , 令 x a tant
(5) f ( x , x2 a2 )dx , 令 x a sec t
(6) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 x 1 t
(7) f (a x )dx , 令 t a x 暨南大学珠海学院苏保河主讲
例8 求
解
原式 =
d(
x
1 2
)
(
5 2)2(x1)22例9 求 解 原式
dex 1 e2x
arcsin e x
C
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第三节 定积分的换元法
第五章 定积分
定理 设函数
单值函数
满足:
1) (t)在[ , ]上有连续导数 , ( ) a , ( ) b;
2) 在[ , ]上
原式
3u2 1 u
du
3
(u2 1) 1 du 1 u
3
(
u
1
1
1
u
) du
3
1 2
u
2
u
ln
1 u
C
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小结
1. 第二类换元法常见类型:
(1) f ( x , n ax b )dx , 令 t n a x b
(2)
f
(
x
,
n
a c
xb xd
)dx
,
令
t
n
a xb c xd
ln
x a
x2 a2 a
C1
t
x2 a2
(C C1 ln a)
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1
例4
求
x
dx (a, x 0). a2 x2
解
令x
1 t
,
则
原式
1 t
1 a2
1 t2
t
1
2
d
t
1 a2t2 1
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例5
求
1
dx 3x
2
.
解 令u3 x2, 则
则
(t) (t)
证略
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(t) (t)
说明:
1) 当 < 时, 公式仍成立.
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
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例1 计算
解 令 x a sin t , 则 dx a cos t d t , 且
当 x 0 时, t 0;
1 x2 C
2 x 1
1 x2 1
1 x2 2
2
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例3 求
解 令 x a sec t , 则
x2 a2 a2 sec2 t a2 a tant
dx a sec t tan t d t
∴
原式
a sect tant a tant
dt
sec t d t
ln sect tant C1