1.模型 假设有如下函数
Yi

AX
B2 i
从模型可知，就我们目前的知识，无法用普通最小二乘法 估计这样的模型。但我们可以把以上模型作如下变化，得 到：
ln Yi ln A B2 ln X i
继而，如果令 B1 ln A，则有：
ln Yi B1 B2 ln X i ui
以上模型称为双对数模型，或双对数线性模型。
上图Ｃ）中可以用来表示宏观经济学中著名的菲利普斯曲线。菲利普 斯根据英国货币工资变化的百分比(Y)与失业率(X)的数据，得到了形 如图Ｃ）的曲线。从图中可以看出，工资随着失业水平的变化是不对 称的：当失业率低于UN 时，工资随失业率单位变化而上升比失业率
高于U N时工资随失业率单位变化而下降得更快，经济学家称U N 为自然失 业率。
第五章 回归模型的函数形 式
上海立信会计学院
到目前为止，我们考虑的都是参数线性，同时又是变量线 性的模型。本章将考虑参数线性，但变量不一定是线性的 模型。
1.双对数模型或不变弹性模型
2.半对数模型
3.倒数模型
所有这些模型的一个重要特征是，它们都是参数线性模型， 但变量却不一定是线性的。
一、双对数模型
３.双对数模型的假设检验
双对数模型的假设检验与线性模型没有任何不同。在随机 误差项服从正态分布的假设下，估计的回归系数服从自由 度为（n-k）的t分布，其中k为包括截距在内的参数个数。
4.比较线性和双对数回归模型（一个经验问题）
对于数学成绩支出一例来说，线性支出模型和双对数模型哪个更合适？
1.作散点图，通过散点图来判断。（这种方式只适合双变量模型） 2.比较两个模型的 值。该方法要求应变量的形式必须是相同的。 3.即使两个模型中的应变量相同，两个 值可以直接比较，我们也 建议不要根据最高 r值2 这一标准选择模型。而应该首先考虑进入模型 中的解释变量之间的相关性、解释变量系r数2 的预期符号、统计显著性 以及类似弹性系数这r 2 样的度量工具。
0.432317 0.050129 -3.383185 -3.302367 6.178255 0.032232
Yt B1 B2 ln X t ut
利用最小二乘法估计以上模型，回归结果如下：
Yˆt 17907.5 2431.69 ln X t se (228.61) (27.05)
t (78.33) (89.89)
p (0.00)
(0.00) r 2 0.997
在以上回归结果中，斜率系数表示，如果个人总消费支出 增加1个百分点，则平均服务支出将增加24.32(10亿）美元。 作出这一解释是因为，线性-对数模型中的斜率系数 可以表示为：
例：共同基金收取的咨询费 下表给出了美国共同基金支付给投资顾问管理资产的费用。 支付的费用与基金的净资产有关。
共 同 基 金 的 管 理 费 用
首先作上表的散点图
管理费用与资产规模的散点图
由散点图可知，两个变量之间的关系是非线性的，具有一定的倒数关系。所以 考虑采用倒数模型。
利用如下的倒数模型
5.多元对数线性回归模型 对于三变量对数线性模型来说：
ln Yi B 1 B2 ln X 2i B3 ln X 3i ui
模型中的偏斜率系数 B2 、B3 又称为偏弹性系数。因此，B2 度量了 X3 不变条件下，Y 对 X2 的弹性，即在 X3 为常量时，X 2 每变动1%引起的 Y 变化的百分比。类似地，B3度量了X2 不变 条件下 Y 对 X3 的弹性。
Y的绝对变化
Y
B2 X的相对变化 X / X
而上式又可以表示为：
X Y B2 ( X )
所以，线性-对数模型中的斜率系数可以解释为，解释变量 的相对变化所引起的应变量的绝对变化量。
三、倒数模型
形如下式的模型称为倒数模型（reciprocal model）：
1 Yi B1 B2 ( X i ) ui
咨询费 B1 B2 (资1产) ui
采用最小二乘法得到回归结果如下：
Dependent Variable: FEE Method: Least Squares Date: 10/29/08 Time: 11:21 Sample: 1 12 Included observations: 12
上图ｂ）中的曲线可用来表示恩格尔消费曲线。该曲线表明消费者在 某一个商品上的支出与其总收入或总消费支出的关系。若Ｙ表示消费 者在某一个商品上的消费支出，Ｘ表示消费者的总收入，则该商品具 有如下特征(1)收入有一个临界值，在此临界值下，不能购买某商品。 在图ｂ）中，收入的临界值是 (B2 / B1) 。(2)消费有一个满足水平， 在此水平之上，无论消费者的收入有多高，也不会再有任何消费。
与变量线性回归模型不同，双对数模型的斜率系数 度量 了Y对X的弹性，即X的变动引起Y变动的百分比。 B2
如果用符号 代表Y的一个微小变动， 代表X的一个微
小变动，则弹Y性E定义为：
X
E Y 变动的百分数 Y / Y •100 Y • X slop( X )
X变动的百分数 X / X •100 X Y
如果我们将 ln Yi 和ln Xi 都看作单独的变量，那么就可以将双对数模型
变为变量线性模型。试作如下变换
Y
i
ln Yi
，X
i
ln
X
，得到
i
：
Yi
B1ຫໍສະໝຸດ B2X i
ui
如果上式满足古典线性回归模型的基本假定，则很容易用普通最小二
乘法估计，从而得到BLUE估计量。
2.双对数模型系数的特殊含义
４.线性－对数模型：解释变量是对数形式 考虑如下例子：个人总消费支出与服务支出的关系 （1993.1～1998.3,1992年美元价，10亿美元），数据见下表：
1993.1～1998.3个人总消费支出与各类支出的季度数据（10亿美元）
以个人总消费支出X与服务支出Y的关系为例，得到线性－ 对数模型如下：
Variable Coefficient
C
0.420412
DASSET 0.054930
Std. Error t-Statistic 0.012858 32.69715 0.022099 2.485610
Prob. 0.0000 0.0322
R-squared
0.381886
Adjusted R-squared 0.320075
倒数模型的一个显著特征是，随着X 的无限增大，(1/ Xi ) 趋于零，Y 接近渐进值或极限值 B1 。因此，当变量 X 无限增大 时，倒数模型中的应变量的取值将逐渐靠近其渐进线或极值。
下图描绘了倒数模型的一些曲线形状： 倒数模型：Yi B1 B2 (1/ X i )
上图ａ）中，若Ｙ表示生产的平均固定成本(AFC)，即总固定成本除 以产出，Ｘ代表产出，则根据经济理论，随着产出的不断增加，平均 固定成本将逐渐降低，最终接近产出轴。
因此，可得：
ln Yt B1 B2t
将上式变化成为经济计量模型，得到：
ln Yt B1 B2t ut
形如上式的回归模型称为半对数模型或者增长模型、对数线性模型。
利用OLS方法估计美国一例的半对数模型，得到：
· ln(uspop) 5.3593 0.0107 t
se (0.0006) t (3321.13)
r eb2 1
在美国人口增长率一例中，有：
r e0.0107 1 1.010757 1 0.010757
此处要注意的是，通过对半对数模型估计所得到的斜率 b2 的值为0.0107，该值为美国人口的瞬时增长率，而通过计
算而得到的r 值0.010757称为复合增长率。
3.线性趋势模型 形如如下形式的模型称为线性趋势模型：
Y
从图形上看，变量线性的回归模型的图形是一条直线，而 双对数模型的图形是一条曲线，并且对于不同的X值来说， 都具有相同的弹性。所以，双对数模型又称为不变弹性模 型。
不变弹性模型
例子：数学分数（见P19）
该例子主要关注美国S.A.T大学入学考试中的 数学成绩与家庭收入之间的关系。即：考察数 学成绩与家庭收入之间的回归关系。
二、如何测度增长率：半对数模型
1.半对数模型 先看一个例子：根据下表中的美国人口数据求1975-2007年 美国的人口增长率。考虑如下复利计算公式：
Yt Y0 (1 r )t
将上式作如下变形，等式两边取对数，得：
ln Yt ln Y0 t ln(1 r )
如果令
B1 ln Y0 B2 ln(1 r )
Yt B1 B2t ut
对美国人口增长率一例线性趋势模型的OLS估计结果如下：
· uspopt 209.6731 2.757t
回归结t果 表(28明7.，43在76样) 本(区73间.6内45，0)美国r2人口0.9每94年3以2.757(百 万)的绝对速度增长。因而美国人口表现出向上的趋势。 截距表明美国1969年的人口数为210（百万）。
(0.0000) (129.779.98)
r 2 0.9982
美国人口增长一例估计的样本回归线
美国人口一例估计的半对数模型中，斜率0.0107表示，平 均而言，美国人口的年增长率为0.0107。截距5.36的反对数 （为212.576）可以表示1974年的人口值。
2.瞬时增长率与复合增长率 由 b2 B2的估计值 ln(1 r ) 可知 eb2 1 r 于是：
S.E. of regression 0.041335
Sum squared resid 0.017086
Log likelihood